Topologie innerer/äußerer Punkt und Randpunkt

Question

Ich soll zeigen, dass:

Jetzt weiß ich , dass deltaA=Menge der Randpunkte, A^0= Menge der inneren Punkte und A(Strich)=abgeschlossene Hülle von A

Aber ich habe leider keine Ahnung, wie ich die Aufgabe mit diesem Wissen lösen soll :(

Comments

Na, Du wirst wohl mit der Bedeutung der Begriffe zu argumentieren haben. Schreibe also auf: Die Definition von ageschlossener Huelle, die Definition von Randpunkt und die Definition von innerem Punkt. Ausserdem alle bereits bekannten Saetze zu diesem Themenkreis. Aus dieser Liste koennen dann Deine Argumente kommen. Eigener Scharfsinn ist bei solchen Aufgaben nur sehr begrenzt zu investieren.

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ok, ich kann also z..B. einfach argumentieren, dass nach Definition im Skript A(Strich) die Vereinigung von A^0 und der Menge der Randpunkte ist. Daraus folgt ja sofort und offensichtlich, der Ausdruck nach dem ersten Gleichheitszeichen

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Wenn \(\overline{A}:=A^\circ\cup\partial A\) im Skript steht, ist das doch ein guter Ansatzpunkt. Es folgt aber nicht sofort \(\partial A=\overline{A}\setminus A^\circ\). Das gilt nur, wenn \(A^\circ\) und \(\partial A\) stets disjunkt sind. Dazu wirst Du noch was sagen muessen. Es geht wieder wie oben. Schreibe auf: Die Definition von Randpunkt und die Definition von innerem Punkt. ...

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das wort disjunkt taucht leider im skript nicht auf^^

Aber es ist doch offensichtlich: Wenn die aud der abgeschlossenen Hülle die inneren punkte abziehe, bleibt ja nur noch der Rand übrig. Das ist doch logisch.

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Das ist doch Analysis II, oder? Da sollte man den Begriff disjunkt schon mal gehoert haben. Zwei Mengen heissen disjunkt, wenn sie leeren Schnitt haben. Wenn dem nicht so ist, ist Deine Behauptung nicht "logisch", sondern schlicht falsch: Aus \(C=A\cup B\) folgt im allgemeinen nicht \(A=C\setminus B\), naemlich genau dann nicht, wenn \(A\cap B\ne\emptyset\). Solche Sachen muessen einfach sitzen.

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ok. es macht Sinn was du schreibst und ich werde das in meine Argumentation mit einbauen. Trotzdem haben wir das bisher nicht gehabt. (Zumindest nicht in Analysis 1 und 2. Mehr Mathe VLs habe ich nicht weil ich Physik studiere)

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Um es explizit gesagt zu haben: Als Eigenleistung für die erste Gleichung der Aufgabe bleibt Dir noch, \(A^\circ\cap\partial A=\emptyset\) nachzuweisen. In Worten heisst das: Ein innerer Punkt kann nie auch ein Randpunkt sein -- und umgekehrt. Dazu sind wieder die Definitionen zurate zu ziehen.

Wenn Du das hast, folgt \(\partial A=\overline{A}\setminus A^\circ\) wirklich direkt aus eurer Definition \(\overline{A}:=A^\circ\cup\partial A\).

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ok, danke. werde mich dann morgen mal an den Rest setzen