f ist stetig g.d.w ∀a ∈ X ∀ε > 0 : a ist innerer Punkt von f−1[Uε(f(a))]

Question

Aufgabe:

Sei f eine Abbildung zwischen zwei metrischen Räumen

f ist stetig g.d.w ∀a ∈ X ∀ε > 0 : a ist innerer Punkt von f−1[Uε(f(a))]

Problem/Ansatz

Hallo ;) ich dachte mir bei dieser Äquivalenz erstmal, welche Beziehung besteht eig zwischen a als innerer Punkt und einer offenen Menge. Ich glaube es war so, dass eine Menge offen ist, falls alle Punkte innere Punkte sind. Sind jetzt hier alle Punkte a offen ?

Ich würde mich über Hilfe und Ideen freuen.

Comments

Sind jetzt hier alle Punkte a offen ?

Einzelne Elemente eines Raumes können nicht offen sein.
Was also meinst du mit deiner Frage?

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ja einzelne Punkte nicht, aber wenn der Raum nur aus inneren Punkten besteht, dann ist der Raum offen. Es war nur mal so eine Idee von mir. Hast du vielleicht eine andere?

Answer 1

f ist stetig

<=>  ∀a ∈ X ∀ε > 0 ∃δ>0 |x-a|<δ ==>  |f(x)-f(a)| < ε

<=>  ∀a ∈ X ∀ε > 0 ∃δ>0 |x-a|<δ ==>  f(x)∈U_ε(f(a))

<=>  ∀a ∈ X ∀ε > 0 ∃δ>0 x∈U_δ(a) ==>  f(x)∈Uε(f(a))

<=>  ∀a ∈ X ∀ε > 0  ∃δ>0 U_δ(a) ⊆  f−1[Uε(f(a))]

<=>  ∀a ∈ X   a ist innerer Punkt von f−1[Uε(f(a))].