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Hallo erstmal.Diese Aufgabe wurde hier schon ein paar mal gestellt, aber ich habe noch ein paar Fragen dazu bzw. wie ich meine persönliche Lösung erklären kann.
Aufgabe: Liegt der Punkt P(1,2,2) in dem von den Punkten A(3,0,0);B(0,12,0);C(0,0,6)und D(0,0,0) aufgespanten Pyramide ?
Meine Lösung: Ich stelle den Punkt P mit hilfe der Linearkombination dar=>
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}\quad =>a=\frac { 1 }{ 3 } ,\quad b=\frac { 1 }{ 6 } ,\quad c=\frac { 1 }{ 3 } \\ $$

Da a+b+c<1 und >0 liegt P in der Pyramide.
Nun meine Frage warum gilt dies? bzw. wie lässt sich das erklären? Könnte mir das jemand einmal genau erklären?
Viel dank im voraus
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1 Antwort

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Kannst du die 3 Vektoren und die aufgespannte Pyramide in meiner Skizze erkennen?

Dann ist schon mal ersichtlich, dass a, b und c nicht negativ sein können, wenn der Punkt innerhalb der Pyramide liegen soll.

Bild Mathematik

Und ist dir klar, dass OP = a* u , mit 0 ≤ a ≤ 1 die Ortsvektoren der Punkte auf einer Pyramidenkante sind?

Nun ein Punkt auf einer anderen Kante:

Bild Mathematik

Gemäss Strahlensatz gilt | cw| : | w| = ( | v - bv | ) : | v|

Mit den Längen der Vektoren kürzen:  c : 1 = 1 - b : 1

c = 1- b

b+c = 1 . Für die Kante.

Das ergibt für alle Punkte die auf der rückseitigen Fläche der Pyramide liegen:

OQ = bv + cw , mit b+c ≤ 1 und b und c nicht negativ.

Nun noch eine Skizze für einen allgemeinen Punkt P auf der schiefliegenden Pyramidenseite

Bild Mathematik

Hier ist nun a nicht mehr 0 und die kannst (wenn du die Skizze grösser machst im grün-roten Dreieck den Strahlensatz benutzen.

Es ergibt sich für den Ortsvektor von P, dass a + (b+c) = 1.

Für Punkte im Innern (inklusive Seitenkante) der Pyramide muss dann gelten a + b + c ≤ 1, sowie immer noch a≥0, b≥0 und c≥ 0.

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