Ableitung von 2 ^ 3 ^ g(x) mit Funktion als innerer Ableitung

Question

Ableitung mit Funktion als innerer Ableitung:

\( f(x)=2^{3^{3 f(t)}} \)

Wie bestimmt man daraus denn die erste Ableitung?

Answer 1

Hi,

nutze die Mittel, die Du durch e-Funktion und Logarithmus zur Verfügung hast.

$$f(x) = 2^{3^{g(x)}} = e^{3^{g(x)}\cdot\ln(2)}$$

$$f'(x) = (3^{g(x)}\cdot\ln(2))'\cdot e^{3^{g(x)}\cdot\ln(2)}$$

Für \((3^{g(x)}\cdot\ln(2))'\)

$$h(x) = 3^{g(x)} = e^{g(x)\cdot\ln(3)}$$

$$h'(x) = g'(x)\cdot\ln(3)\cdot e^{g(x)\cdot\ln(3)}$$

Also insgesamt:

$$f'(x) = (3^{g(x)}\cdot\ln(2))'\cdot e^{3^{g(x)}*ln(2)} = g'(x)\cdot\ln(3)\cdot e^{g(x)\cdot\ln(3)}\cdot\ln(2)\cdot e^{3^{g(x)}\cdot\ln(2)}$$

$$ = g'(x)\cdot\ln(3)\cdot3^{g(x)}\cdot\ln(2)\cdot2^{3^{g(x)}}$$

Grüße