Beweis mit vollständiger Induktion e*(n/e)^n ≤ n!

Question

Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion für alle n∈ℕ

e*(n/e)ⁿ ≤ n!

Ich weiß zwar das ich bspw. die linke Seite zu nⁿ / e^n-1 umformen könnte und die rechte Seite für den Beweis mit (n-1) multiplizieren muss, aber irgendwie komme ab dieser Stelle einfach nicht mehr weiter.

Wie muss man an die Lösung herangehen?

Answer 1

e·(n/e)^n ≤ n!

Für n = 1

e·(1/e)^1 ≤ 1!

1 ≤ 1!

stimmt.

Aus n folgt n + 1

e·((n + 1)/e)^{n + 1} ≤ (n + 1)!

(n + 1)·((n + 1)/e)^n ≤ n!·(n + 1)

((n + 1)/e)^n ≤ n!

((n + 1)/e)^n ≤ e·(n/e)^n

((n + 1)/e)^n / (n/e)^n ≤ e

((n + 1)/e * e/n)^n ≤ e

((n + 1)/n)^n ≤ e

(1 + 1/n)^n ≤ e

Nun ist der Linke teil aber genau eine Folge die gegen e strebt aber e nie erreicht. Daher ist das gezeigt.

Comments

Ich habe jetzt beim nachvollziehen nur ein kleines Problem zwischen diesen beiden Schritten:

((n + 1)/e)ⁿ ≤ n!

((n + 1)/e)ⁿ ≤ e·(n/e)ⁿ

Das soll jetzt aber nicht bedeuten das n! zu e·(n/e)ⁿ  wird, oder?

Oder wird ab diesem Schritt ((n + 1)/e)ⁿ einfach mit dem Ausgangswert e·(n/e)ⁿ verglichen?

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Du darfst die Anfangsbedingung

e·(n/e)ⁿ ≤ n!

für die weitere Rechnung verwenden.

D.h. wir dürfen bei 

((n + 1)/e)ⁿ ≤ n!

n! nach unten durch den kleineren Wert abschätzen.