Wie hängt das Maß dieser Fläche von k ab?

Question

Die Sehne vom Punkt (k |f(k)) zum Punkt ((k+1)|f(k+1)) schließt mit dem Graphen von f(x)=x² eine Fläche ein. Wie hängt das Maß dieser Fläche von k ab?

Comments

Hi Roland! Ohne dir zu nahe treten zu wollen, diese Aufgabe sollte für jemanden deines Kalibers ein Leichtes sein. Was ist der Zweck bzw. das Problem dieser Aufgabe?

Mein erster Ansatz wäre die Erkenntnis, dass \(f(x)=x^2\) konvex ist, die Sehne also immer oberhalb des Funktionsgraphen verläuft, man also keine gesonderten Schnittpunkte, Vorzeichenwechsel etc. untersuchen muss.

Im übrigen kann man auch "ganz nach Euklid" zum korrekten Ergebnis kommen, wenn mich nichts beirrt.

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Frage: Was ist der Zweck bzw. das Problem dieser Aufgabe?

Antwort: Ein Angebot an denkende Menschen - vielleicht auch zum Weiterdenken.

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Dann war meine Vermutung richtig, dass du keine Hilfe benötigst, sondern eine coole Aufgabe zeigen möchtest. Mir war nicht klar, ob du vielleicht auf das Prinzip von Cavalieri hinauswillst, oder dass die "Differenzfunktion" immer die gleiche Parabel ist, nur verschoben. Es gibt erstaunlich viele Wege zu argumentieren, dass die Fläche immer gleich bleibt, dass man eigentlich unbedingt vermeiden möchte, zu rechnen ;)

Answer 1

Die Fläche ist unabhängig von \(k\).

Die Fläche unter der Sehne bildet ein Trapez und es gilt

\(A_1=\frac{k^2+(k+1)^2}{2}\cdot 1=k^2+k+\frac{1}{2}\).

Für die Fläche unterhalb der Parabel gilt

\(A_2=\int_k^{k+1}\!x^2\,\mathrm{d}x=[\frac{1}{3}x^3]_k^{k+1}=\frac{1}{3}(k+1)^3-\frac{1}{3}k^3=k^2+ k+\frac{1}{3}\).

Die Differenz ist \(A=A_1-A_2=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\).

Comments

Die Fläche unter der Sehne bildet ein Trapez

Hat jemand die Fläche rund gefeilt?

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Was willst du damit aussagen?

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Was willst du damit aussagen?

Deine Fläche A1 ist ein Trapez. Die gemeinte Fläche ist es nicht.

1/6 ist völlig richtig. Und auch die Rechnung ist soweit ich das sehen kann korrekt.