Ich dachte, das wäre klar.
Es gilt
1) i^(2n) = (-1)^n
2) i^(2n+1) = (-1)^n i
für alle n ∈ |N. (Probiere mal paar Potenzen für i^n aus)
Damit gilt für den Realteil nach 1) also :
Σ i^(2n) / (2n) = Σ (-1)^n / (2n) < ∞ nach dem Leibniz-Test. Das ist also gerade der endliche Realteil dieser echtkomplexen Reihe. Der Imaginärteil im Produkt mit der imaginären Einheit i ∈ C ist also gerade dann nach 2) die Reihe
Σ i^(2n+1) / (2n+1) = i Σ (-1)^n / (2n+1). Der Imaginärteil der Reihe Σ i^n / n, ist also gerade der Produktfaktor Σ (-1)^n / (2n+1) und dieser ist analog nach Leibniz endlich.
Also konvergiert die Reihe Σ i^n / n nach Leibniz gegen eine echtkomplexe Zahl a+b*i ∈ C \ |R, wobei der a := Σ (-1)^n / (2n) ∈ |R der Realteil und b := Σ (-1)^n / (2n+1) ∈ |R der Imaginärteil von der ursprünglichen Reihe Σ i^n / n ist.
Wir schreiben damit Σ i^n / n = a+b*i mit der obigen Definition zu a und b.
Die Reihe konvergiert jedoch nur bedingt, da der Absolutbetrag der Folge (i^n / n) gerade |i^n / n| = 1/n ist und Σ 1/n = ∞ bekanntlich gilt. Die Absolutreihe ist also die divergente harmonische Reihe. Damit konvergiert also die Reihe, aber nicht absolut.
