Untersuchen der Reihe auf Konvergenz oder Divergenz

Question 1

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz oder Divergenz

$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n^{2}+n}{n^{4}-n^{3}+n^{2}+3n}} $

Problem/Ansatz:

In einer Übungsaufgabe wurde im Zähler und Nenner das höchste Glied ausgeklammert.

Also hier $ n^{2} $ und $ n^{4} $ und dann kann man irgendeine Verbindung zu $ \frac{1}{n^{2}} $ herstellen.

Da die Folge ja konvergiert, sollte man das Majorantenkriterium benutzen, jedoch komm ich da nicht weiter.

Question 2

$$\left|\frac{n^{2}+n}{n^{4}-n^{3}+n^{2}+3n}\right|=\left|\frac{n+1}{n^3-n^2+n+3}\right|=\left|\frac{n+1}{(n+1)(n^2-2n+3)}\right|=\left|\frac{1}{n^2-2n+3}\right |\overset{(*)} \leq \frac{1}{n^2}$$ Da $\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ konvergiert auch $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n^{2}+n}{n^{4}-n^{3}+n^{2}+3n}} $ nach dem Majorantenkriterium.

$(*)$ Für $n\geq 2$.

Question 3

Danke für die Antwort, aber $ \frac{1}{n^{2}-2n+3} $ ist doch nicht kleiner als $ \frac{1}{n^{2}} $ oder habe ich einen Denkfehler?

Question 4

Ne, du hast völlig recht.

Question 5

Okay, hast du zufällig einen anderen Lösungsansatz?

racine_carrée · Answer 1 · 2020-12-02T22:29:08+0000

$$\left|\frac{n^{2}+n}{n^{4}-n^{3}+n^{2}+3n}\right|=\left|\frac{n+1}{n^3-n^2+n+3}\right|=\left|\frac{n+1}{(n+1)(n^2-2n+3)}\right|=\left|\frac{1}{n^2-2n+3}\right |\overset{(*)} \leq \frac{1}{n^2}$$ Da $\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ konvergiert auch $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n^{2}+n}{n^{4}-n^{3}+n^{2}+3n}} $ nach dem Majorantenkriterium.

$(*)$ Für $n\geq 2$.

Danke für die Antwort, aber $ \frac{1}{n^{2}-2n+3} $ ist doch nicht kleiner als $ \frac{1}{n^{2}} $ oder habe ich einen Denkfehler? — Gast, 2 Dez 2020

Untersuchen der Reihe auf Konvergenz oder Divergenz

1 Antwort

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