Untersuchen der Reihe auf Konvergenz oder Divergenz

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz oder Divergenz

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n^{2}+n}{n^{4}-n^{3}+n^{2}+3n}}$

Problem/Ansatz:

In einer Übungsaufgabe wurde im Zähler und Nenner das höchste Glied ausgeklammert.

Also hier $n^{2}$ und $n^{4}$ und dann kann man irgendeine Verbindung zu $\frac{1}{n^{2}}$ herstellen.

Da die Folge ja konvergiert, sollte man das Majorantenkriterium benutzen, jedoch komm ich da nicht weiter.

Answer 1

$$\left|\frac{n^{2}+n}{n^{4}-n^{3}+n^{2}+3n}\right|=\left|\frac{n+1}{n^3-n^2+n+3}\right|=\left|\frac{n+1}{(n+1)(n^2-2n+3)}\right|=\left|\frac{1}{n^2-2n+3}\right |\overset{(*)} \leq \frac{1}{n^2}$$ Da $\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ konvergiert auch $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n^{2}+n}{n^{4}-n^{3}+n^{2}+3n}}$ nach dem Majorantenkriterium.

$(*)$ Für $n\geq 2$.

Comments

Danke für die Antwort, aber $\frac{1}{n^{2}-2n+3}$ ist doch nicht kleiner als $\frac{1}{n^{2}}$ oder habe ich einen Denkfehler?

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Ne, du hast völlig recht.

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Okay, hast du zufällig einen anderen Lösungsansatz?