Aufgabe:
An der Küste regnet es normalerweise etwa 100 Tage im Jahr. Die Wettervorhersage für morgen sagt voraus, dass es nicht regnen wird. Die Vorhersage ist, egal ob es regnet oder nicht, in \( 80 \% \) der Fälle richtig.
Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen nicht regnet? Benutzen Sie der Bayessche Satz und die folgenden Notationen um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
- \( A_{1} \) : es regnet nicht
- \( A_{2} \) : es regnet
- \( B \) : die Vorhersage dass es nicht regnet
a) Was ist die Wahrscheinlichkeit für:
- \( P\left(A_{1}\right) \)
- \( P\left(A_{2}\right) \)
- \( P\left(B \mid A_{1}\right) \)
- \( P\left(B \mid A_{2}\right) \)
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit \( P\left(A_{1} \mid B\right) \) (morgen regnet es nicht gegeben die Vorhersage).
Ansatz:
a)
\( P(A_1) = \frac{265}{365} \)
\( P(A_2) = \frac{100}{365} \)
\( P(B|A_1) = 0{,}8 \)
\( P(B|A_2) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2 \)
b)
\( P(A_1|B) = \frac{P(B|A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)} \)
\( P(B) = P(B|A_1) \cdot P(A_1) + P(B|A_2) \cdot P(A_2) \)
\( P(B) = (0{,}8) \cdot \left(\frac{265}{365}\right) + (0{,}2) \cdot \left(\frac{100}{365}\right) \)
\( P(A_1|B) = \frac{(0{,}8) \cdot \left(\frac{265}{365}\right)}{(0{,}8) \cdot \left(\frac{265}{365}\right) + (0{,}2) \cdot \left(\frac{100}{365}\right)} \)
\( P(B) = \frac{0{,}8 \times 265 + 0{,}2 \times 100}{365} = \frac{212 + 20}{365} = \frac{232}{365} \)
\( P(A_1|B) = \frac{0{,}8 \times 265}{232} = \frac{212}{232} = \frac{53}{58} \approx 0{,}914 \)
91,4 %.
Habe ich das alles so richtig gemacht?
