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Aufgabe:

An der Küste regnet es normalerweise etwa 100 Tage im Jahr. Die Wettervorhersage für morgen sagt voraus, dass es nicht regnen wird. Die Vorhersage ist, egal ob es regnet oder nicht, in \( 80 \% \) der Fälle richtig.
Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen nicht regnet? Benutzen Sie der Bayessche Satz und die folgenden Notationen um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
- \( A_{1} \) : es regnet nicht
- \( A_{2} \) : es regnet
- \( B \) : die Vorhersage dass es nicht regnet
a) Was ist die Wahrscheinlichkeit für:
- \( P\left(A_{1}\right) \)
- \( P\left(A_{2}\right) \)
- \( P\left(B \mid A_{1}\right) \)
- \( P\left(B \mid A_{2}\right) \)
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit \( P\left(A_{1} \mid B\right) \) (morgen regnet es nicht gegeben die Vorhersage).


Ansatz:

a) 

\( P(A_1) = \frac{265}{365} \)

\( P(A_2) = \frac{100}{365} \)

\( P(B|A_1) = 0{,}8 \)

\( P(B|A_2) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2 \)

b) 
\( P(A_1|B) = \frac{P(B|A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)} \)
\( P(B) = P(B|A_1) \cdot P(A_1) + P(B|A_2) \cdot P(A_2) \)
\( P(B) = (0{,}8) \cdot \left(\frac{265}{365}\right) + (0{,}2) \cdot \left(\frac{100}{365}\right) \)

\( P(A_1|B) = \frac{(0{,}8) \cdot \left(\frac{265}{365}\right)}{(0{,}8) \cdot \left(\frac{265}{365}\right) + (0{,}2) \cdot \left(\frac{100}{365}\right)} \)

\( P(B) = \frac{0{,}8 \times 265 + 0{,}2 \times 100}{365} = \frac{212 + 20}{365} = \frac{232}{365} \)

\( P(A_1|B) = \frac{0{,}8 \times 265}{232} = \frac{212}{232} = \frac{53}{58} \approx 0{,}914 \)

91,4 %.


Habe ich das alles so richtig gemacht?

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Das sieht alles richtig aus. Prima.

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warum ist die Wahrscheinlichkeit für P(B|A_1) gleich 0,8 ? In der Aufgabenstellung steht das es egal ist, ob es regnet oder nicht.

P(B | A1)

In der Aufgabenstellung steht das es egal ist, ob es regnet oder nicht.

Da musst du vermutlich etwas falsch verstanden haben. In P(B | A1) ist A1 die Bedingung und A1 bedeutet es regnet nicht.

P(B | A1): Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Vorhersage sagt "es regnet nicht", wenn wir wissen, dass es nicht regnet.

Im Text steht das die Vorhersage zu 80% stimmt. Also wenn es morgen nicht regnet, dann wäre die Vorhersage in 80% aller Fälle das es morgen nicht regnet. In 20% der Fälle liegt die Vorhersage falsch und sagt, dass es morgen regnet.

Die Wettervorhersage für morgen sagt voraus, dass es nicht regnen wird. Die Vorhersage ist, egal ob es regnet oder nicht, in \( 80 \% \) der Fälle richtig.

Wenn man beide Sätze liest, versteht man es :)

Die Vorhersage ist, egal ob es regnet oder nicht, in \( 80 \% \) der Fälle richtig.

Das bedeutet nur

P(Es wird Regen vorhergesagt | es regnet wirklich) = 80%

P(Es wird kein Regen vorhergesagt | es regnet nicht) = 80%

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