Zeigen sie dass f(x,y)=(x^3-3xy^2, 3x^2y-y^3) nicht injektiv ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen sie dass f(x,y)=(x^3-3xy^2, 3(x^2)y-y^3) nicht injektiv ist.

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, ich bin auf der Suche nach einem Ansatz mit dem man systematisch herausfinden kann wo eine solche Funktion nicht injektiv ist.

Answer 1

Hallo.

Vorab sqrt: U —> |R mit U ⊂ [0,∞) ist die Quadratwurzelfunktion. Nun zur Aufgabe:

Du hast hier eine Funktion f: |R^2 —> |R^2, wovon du die Injektivität widerlegen sollst. Dafür suchst du mindestens zwei Punkte (a,b), (c,d) ∈ |R^2 mit (a,b) ≠ (c,d), sodass trotzdem dann aber f(a,b) = f(c,d) gilt. Das ist genau die Negation der Definition von Injektivität. (D.h. Ein Element f(x,y) hat mehrere Urbildelemente)

Ich wähle hier die Punkte

(1,0) und (-1/2, sqrt(3)/2) ∈ |R^2.

Da sind die Funktionswerte beide (1,0). Es gilt also (1,0) ≠ (-1/2, sqrt(3)/2) aber

f(1,0) = (1,0) = f(-1/2, sqrt(3)/2).

Die Frage ist, wie kam ich darauf? Dafür löst du das Gleichungssystem f(x,y) = (1,0). Die Wahl war hier ein Zufall.

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Das Gleichungssystem f(x,y) = (1,0) schreiben wir in Zeilenform und faktorisieren schon mal in der ersten Komponente bzw. Gleichung die Variable x und in der zweiten Konponente bzw. Gleichung die zweite Variable y. Wir erhalten also das nicht-lineare inhomogene Gleichungssystem :

I: x (x^2 - 3y^2) = 1

II: y (3x^2 - y^2) = 0

Nach II muss entweder y = 0 oder y^2 = 3x^2 gelten. Sei erstmal y = 0, dann folgt nach I unmittelbar x = 1. Also ist (1,0) eine Lösung des Systems. Das war ja das ,,Einfache‘‘.

Sei nun aber y ≠ 0 also y^2 = 3x^2. Einsetzen in I liefert die Gleichung x (x^2 - 9x^2) = 1, also kommt man auf 8x^3 = 1, was dann x = (-1/8)^(1/3) liefert, also x = -1/2. Einsetzen in die obige Gleichheit y^2 = 3x^2 folgert y ∈ {sqrt(3)/2, -sqrt(3)/2}. Also die Punkte (-1/2,sqrt(3)/2) und (-1/2, -sqrt(3)/2) lösen das System auch. Damit haben wir die Punkte

(-1/2,sqrt(3)/2), (-1/2, -sqrt(3)/2) und (1,0) die alle verschieden sind, aber wo f den selben Wert annimmt. Ich habe oben zwei davon genommen, weil das ja ausreicht um die Injektivität zu widerlegen.

Comments

Vielen Dank!

Ich habe es auch 2 mal so versucht aber mit einem tatsächlich "injektiven" Punkt (0,0). Aber durch dein Beispiel ist mir klar geworden dass, und wie es klappen kann. Grundsätzlich scheint ein gutes Vorgehen zu sein, die erste Komponente zu betrachten, und das Ergebnis dieser so zu wählen dass man mehrere Lösungen für diese erste Zeile erhält, und diese dann in die zweite Komponente einsetzen kann.

z.B. wähle ich als Ergebnis für die erste Komponente die 0,  x*(x^2-3y^2)  =0 und sehe sofort x entweder 0 oder x^2=3y^2.
setze ich nun x^2=3y^2 in die zweite Komponente ein erhalte ich 9y^3-y^3= ... .
da y ja beliebig sein kann bis auf die Beziehung zu x setze ich y=1 und erhalte somit
9y^3-y^3=8, und x^2=3 -> x= \( \sqrt{3} \) . Somit habe ich eine Lösung, die andere erhalte ich wenn ich x= 0 in die zweite Komponente einsetze, also 3x^2y-y^3=8 -> y^3 =8

-> y=-2.
Also Punkt 1 : (0,-2)

Punkt 2 : (\( \sqrt{3} \) , 1)

Vielen Dank nochmal für die ausführliche Beschreibung das hat sehr geholfen. Schönes Wochenende!

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Ja, ich hatte es tatsächlich auch erstmal mit (0,0) versucht. Der Punkt ist aber wie du schon sagt, tatsächlich ein Punkt, welcher die Injektivität erfüllt.

Man muss bei solchen Aufgaben ein wenig experimentieren, wie du es ja auch gut gemacht hast. Ist wie Schach spielen. Man überlegt sich es vor dem Durchführen im Voraus, was man damit erreichen kann.

Aber so eine Art vorgehen, kann man ja zumindest immer machen. Freut mich, das ich dir helfen konnte. Schönes Wochenende gleichfalls!

Kurze Bemerkung: Bei einem stimmt aber die Folgerungen y^3 = 8 => y = -2 und x^2 = 3 => x = sqrt(3) nicht ganz.

Richtig wäre: y^3 = 8 => y = 2 und x^2 = 3 => x = sqrt(2) oder x = -sqrt(2)

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*Ich merke da steht ja -y^3 = 8. Da stimmt y = -2 dann doch wieder :)

(Hab das negative Vorzeichen übersehen)

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@Txman warum rechnest du es vor? Wäre es nicht lehrreicher, nur den Punkt anzugeben?

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@nudger In der Situation muss dem FS ja meine Wahl dieser Punkte klar sein und da wäre eine einfache Angabe davon keine grosse Hilfe, da es in dem Falle ja auch überhaupt nicht trivial ist. Übrigens ist meine Lösung eine von unendlich Lösungen. Also kann der FS ja gerne sich dem orientieren und selber auch weitere Lösungen finden…

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Du hast (1,0) gewählt, aus Zufall. Der Rest ist standardrechnung.

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Ja das stimmt, aber wie gesagt, es ist hier ja eine von unendlich Lösungen. Das ist ungefähr so wie, wenn Du mir z.B. sagst das (1,1) eine Lösung von der Kreisgleichung x^2 + y^2 = 2, ist.

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Ja und? Als Tipp (Zufall) hätte das gereicht. Meine Frage hast Du nicht beantwortet: wozu den Nachweis auch noch vorturnen?

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Weil es einfacher ist und man sich dann nicht ewig mit dem FS "herumplagen" muss. Manche haben dafür ja weder die Lust noch die Zeit. ;)

@nudger: Es ist jedes Mal dieselbe Leier und jedes Mal kommen dieselben schlechten Argumente.

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Ich habe es schon verstanden und lade letzterzeit normalerweise auch keine Lösungen mehr hoch. Diesmal war es absr eben was anderes. Aber ja vielleicht war die Rechnung dazu wirklich bischen zu grundlegend…

Answer 2

Die von dir gegebene Funktion besitzt eine sehr einfach zu sehende Symmetrie. Wenn du Punkte auswählst, die etwas mit dieser Symmetrie zu tun haben, kannst du sehr einfach sehr viele Gegenbeispiele finden.

Answer 3

"nicht injektiv" zeigt man am besten durch ein Gegenbeispiel, probier mal Werte aus. Dabei merkst du schon was erfolgversprechend ist.

Comments

Danke für die Antwort. Das habe ich natürlich getan, allerdings sind hier die üblichen verdächtigen alle kein Treffer, egal welche Zahl, egal welche Kombination aus Vorzeichenwechsel und Vertauschung, der Ausgabewert will einfach nicht gleich bleiben. Da ich lange rumprobiert habe suche ich nach einer systematischen Methode um einen solchen Punkt zu finden.

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Schon versucht, beide Terme gleichzusetzen?

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zeigt man am besten durch ein Gegenbeispiel

Wenn man keins findet, dann reicht auch der Nachweis der Existenz eines Gegenbeispiels ohne konkrete Angabe von Zahlenwerten.
Wenn man doch eins findet, (z.B. f(3 , -2) = f(√3-1,5 , 1+1,5√3) ) schadet das natürlich nicht.

Answer 4

Um zu zeigen, dass die Funktion

f(x,y) = [x^3 - 3·x·y^2, 3·x^2·y - y^3]

nicht injektiv ist, kann man zeigen das es für die Gleichung

f(x,y) = [a, b]

mehr als eine Belegung von x und y geben kann.

Nun ist das Gleichungssystem

x^3 - 3·x·y^2 = a
3·x^2·y - y^3 = b

allerdings nicht so ohne weiteres allgemein nach x und y aufzulösen. Aber uns würde evtl. einfallen, wie man a und b evtl. wählen kann, damit uns das leichter fällt. Mir fallen hier 3 Spezifizierungen ein, um einfachere Gleichungen zu erhalten.

1. a = 0
2. b = 0
3. a = b

Gilt jetzt a = 0 dann versuchen wir das mal zu lösen

x^3 - 3·x·y^2 = x·(x^2 - 3·y^2) = 0 → x = 0 oder x^2 = 3·y^2

Für x = 0 muss jetzt gelten

3·0^2·y - y^3 = b --> y = (-b)^(1/3) → nicht mehrdeutig

Für x^2 = 3·y^2 muss jetzt gelten

3·x^2·y - y^3 = 3·3·y^2·y - y^3 = 8·y^3 = b --> y = b^(1/3)/2

Nun gibt das für x wegen des Quadrates allerdings zwei Lösungen

x^2 = 3·y^2 = 3·(b^(1/3)/2)^2 -->x = ± √3·b^(1/3)/2