Hallo.
Vorab sqrt: U —> |R mit U ⊂ [0,∞) ist die Quadratwurzelfunktion. Nun zur Aufgabe:
Du hast hier eine Funktion f: |R^2 —> |R^2, wovon du die Injektivität widerlegen sollst. Dafür suchst du mindestens zwei Punkte (a,b), (c,d) ∈ |R^2 mit (a,b) ≠ (c,d), sodass trotzdem dann aber f(a,b) = f(c,d) gilt. Das ist genau die Negation der Definition von Injektivität. (D.h. Ein Element f(x,y) hat mehrere Urbildelemente)
Ich wähle hier die Punkte
(1,0) und (-1/2, sqrt(3)/2) ∈ |R^2.
Da sind die Funktionswerte beide (1,0). Es gilt also (1,0) ≠ (-1/2, sqrt(3)/2) aber
f(1,0) = (1,0) = f(-1/2, sqrt(3)/2).
Die Frage ist, wie kam ich darauf? Dafür löst du das Gleichungssystem f(x,y) = (1,0). Die Wahl war hier ein Zufall.
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Das Gleichungssystem f(x,y) = (1,0) schreiben wir in Zeilenform und faktorisieren schon mal in der ersten Komponente bzw. Gleichung die Variable x und in der zweiten Konponente bzw. Gleichung die zweite Variable y. Wir erhalten also das nicht-lineare inhomogene Gleichungssystem :
I: x (x^2 - 3y^2) = 1
II: y (3x^2 - y^2) = 0
Nach II muss entweder y = 0 oder y^2 = 3x^2 gelten. Sei erstmal y = 0, dann folgt nach I unmittelbar x = 1. Also ist (1,0) eine Lösung des Systems. Das war ja das ,,Einfache‘‘.
Sei nun aber y ≠ 0 also y^2 = 3x^2. Einsetzen in I liefert die Gleichung x (x^2 - 9x^2) = 1, also kommt man auf 8x^3 = 1, was dann x = (-1/8)^(1/3) liefert, also x = -1/2. Einsetzen in die obige Gleichheit y^2 = 3x^2 folgert y ∈ {sqrt(3)/2, -sqrt(3)/2}. Also die Punkte (-1/2,sqrt(3)/2) und (-1/2, -sqrt(3)/2) lösen das System auch. Damit haben wir die Punkte
(-1/2,sqrt(3)/2), (-1/2, -sqrt(3)/2) und (1,0) die alle verschieden sind, aber wo f den selben Wert annimmt. Ich habe oben zwei davon genommen, weil das ja ausreicht um die Injektivität zu widerlegen.