Geraden Richtungsvektoren zuordnen

Question

Text erkannt:

Geraden in \( \mathbb{R}^{2} \) können auf verschiedene Arten angegeben werden. Im Folgenden sei \( P \) ein Punkt der Geraden.

Aufgabenstellung
Ordne jeder Geraden der linken Tabelle den passenden Richtungsvektor \( \vec{r} \) aus der rechten Tabelle zu! (A bis F)
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline\( g: y=\frac{5}{2} \cdot x+3 \) & \\
\hline\( g: 5 \cdot x+2 \cdot y=3 \) & \\
\hline\( g:\binom{-2}{5} \cdot X=\binom{-2}{5} \cdot P \) & \\
\hline\( g: X=P+t \cdot\binom{-5}{2} \) & \\
\hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline A & \( \vec{r}=\binom{2}{5} \) \\
\hline B & \( \vec{r}=\binom{0}{2} \) \\
\hline C & \( \vec{r}=\binom{-2}{5} \) \\
\hline D & \( \vec{r}=\binom{5}{0} \) \\
\hline E & \( \vec{r}=\binom{5}{2} \) \\
\hline F & \( \vec{r}=\binom{-5}{2} \) \\
\hline
\end{tabular}

Richtungsvektoren

Text erkannt:

Geraden in \( \mathbb{R}^{2} \) können auf verschiedene Arten angegeben werden. Im Folgenden sei \( P \) ein Punkt der Geraden.

Aufgabenstellung
Ordne jeder Geraden der linken Tabelle den passenden Richtungsvektor \( \vec{r} \) aus der rechten Tabelle zu! (A bis F)
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline\( g: y=\frac{5}{2} \cdot x+3 \) & \\
\hline\( g: 5 \cdot x+2 \cdot y=3 \) & \\
\hline\( g:\binom{-2}{5} \cdot X=\binom{-2}{5} \cdot P \) & \\
\hline\( g: X=P+t \cdot\binom{-5}{2} \) & \\
\hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline A & \( \vec{r}=\binom{2}{5} \) \\
\hline B & \( \vec{r}=\binom{0}{2} \) \\
\hline C & \( \vec{r}=\binom{-2}{5} \) \\
\hline D & \( \vec{r}=\binom{5}{0} \) \\
\hline E & \( \vec{r}=\binom{5}{2} \) \\
\hline F & \( \vec{r}=\binom{-5}{2} \) \\
\hline
\end{tabular}

Lg Derrien

Answer 1

Hallo.

Ich mache dir mal das erste als eine Beispielrechnung vor und du kannst dich daran bei den anderen dann orientieren :)

Ich unterteile das ganze mal in drei Schritte.

1) Grundwissen und Zusammenhang:

Die Geradengleichung die dir aus der analytischen Geometrie bekannt ist, also mit Fusspunkt (Ortsvektor) und Richtung (Richtungsvektor) ist die Lösung deiner allgemeinen linearen Gleichung ax + by = c. Also sie durchläuft alle Paare (x,y) welche die lineare Gleichung ax + by = c erfüllen.

——

2) Nun meine Beispielrechnung für das Erste:

Beim ersten hast du y = (5/2)x + 3 gegeben. Die allgemeine lineare Gleichung wäre hier gerade (5/2)x - y = -3. (Die allgemeine lineare Gleichung einer linearen Funktion y = mx+b ist immer die Form, wo die Variablen auf einer Seite und die Zahl auf der anderen Seite steht).

Die Punkte die das erfüllen müssen also von der Form (x,y) = (x, (5/2)x + 3) = (0,3) + x (1, 5/2) sein. Deine Geradengleichung, welche alle Punkte enthält, die die obige lineare Gleichung [(5/2)x - y = -3] löst, ist also

g : X := (0,3) + r (1, 5/2).

Dein Richtungsvektor ist damit (1, 5/2).

Du kannst g natürlich auch umschreiben in ,,schöner‘‘. Z.B. Skaliere die Richtung mit Faktor 2, dann ist auch genauso die Gerade

h : X := (0,3) + t (2,5) eine Lösung der obigen linearen Gleichung. Hier wäre (2,5) der Richtungsvektor. Das ändert nichts, da die Richtung ja dieselbe bleibt und damit auch die Gerade. Es gilt also eigentlich auch h = g.

Wie du siehst, ist der Richtungsvektor nicht eindeutig. Du musst deswegen ja auch nur einen davon angeben :)

——

3) Zusammenfassende Vorgehensweise:

Du nimmst also immer einen beliebigen Punkt (x,y) und setzt da für y deine Vorschrift ein und trennst das ganze dann, wobei der Vektor welcher durch den Parameter parametrisiert ist, dein Richtungsvektor ist.

Comments

Danke

lg Derrien