Besondere Punkte im Dreieck

Question

Die Methoden der Vektorrechnung ermöglichen es, Ergebnisse von Konstruktionen im Koordinatensystem rechnerisch nachzuvollziehen, sowie allgemein gültige Zusammenhänge herzuleiten.

In der Abbildung sind zur Veranschaulichung die Schwerlinie $s_b$ (strichliert), die Streckensymmetrale $m_{BC}$ (punkt-strichliert) und die Höhe $h_a$ eingezeichnet.

Gegeben ist das Dreieck $$A = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix},\: B = \begin{pmatrix} 7 \\ -5 \end{pmatrix},\: C = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}.$$

Aufgabenstellung:

a) Die Schwerlinien des Dreiecks verbinden jeweils den Mittelpunkt einer Seite mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt. Der Mittelpunkt der Seite $b$ hat die Koordinaten ${M_b = (1\vert 2)}$. Gib eine Gleichung der Schwerlinie $s_b$ in Parameterform an und zeige, dass der Schwerpunkt ${S = \left(3\vert \frac{1}{3} \right)}$ auf der Schwerlinie liegt.

b) Stelle die Gleichung der Höhengeraden ha (siehe Skizze) auf die Seite a in Normalvektorform auf!

Ich weiß, nicht womit ich beginnen soll.

Lg Derrien

Comments

Ist echt schwer zu lesen…

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Lag wohl vorhin an meinem Gerät. Ist doch lesbar, also alles gut :)

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Lag wohl vorhin an meinem Gerät.

Ich habe ein wenig nachgearbeitet! :-)

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Achso verstehe :)

Answer 1

Für eine Geradengleichung in Parameterform brauchst du einen Stützvektor und einen Richtungsvektor. Den Stützvektor bekommst du über einen beliebigen Punkt der Geraden. Den Richtungsvektor bekommst du über den Verbindungsvektor von zwei Punkten der Geraden. Für die Schwerlinie $S_b$ kennst du die Koordinaten zweier Punkte.

Für die Höhengeraden benutzt du die Tatsache, dass sie senkrecht auf $BC$ steht. Wie man die Orthogonalität zweier Vektoren prüft, hat man dir schon in einer anderen Frage beantwortet (Skalarprodukt = 0). Damit bekommst du den Richtungsvektor. Für den Stützvektor nimmst du wieder den Ortvektor eines beliebigen Punktes der Höhenlinie. Da solltest du aber auch einen kennen. Du kannst dann die Parametergleichung in die Normalenform unwandeln, denn der Normalenvektor ist senkrecht zum Richtungsvektor und entspricht dann dem Vektor von $B$ nach $C$.