Lage der Höhenschnittpunkte im Dreieck

Question

Aufgabe:

Sei Δ = Δ(A;B;C) ein Dreieck und sei H der Schnittpunkt der Höhen. Zeigen Sie, dass gilt:
- Ist Δ spitzwinklig, so liegt H innerhalb des Dreiecks.
- Ist Δ stumpfwinklig, so liegt H außerhalb des Dreiecks.
- Ist Δ rechtwinklig (mit γ= 90°), so gilt H = C.

Problem/Ansatz:

Ich vermute das man wahrscheinlich irgendwie die Winkel der Dreiecke in Beziehung setzten muss zu Beweisen das der Höhenschnittpunkt innerhalb, außerhalb oder auf den Linien des Dreiecks liegen. Nur irgendwie stehe ich auf dem Schlauch wie man das als einen schönen Beweis aufschreiben soll das H∈Δ(A,B,C) ist oder halt nicht usw.

Vielen dank im voraus

Comments

Nur irgendwie stehe ich auf dem Schlauch wie man das als einen schönen Beweis aufschreiben soll

Das ist schon mal der völlig falsche Ansatz für das Problem.

Ein vernünftiger Ansatz wäre:

1) Zeichne dir ein spitzwinkliges, ein stumpfwinkliges und ein rechtwinkliges Dreieck.

2) Zeichne in jedem dieser Dreiecke alle 3 Höhen ein.

3) Betrachte andächtig in jedem dieser drei Dreiecke den Höhenschnittpunkt.

Stelle fest, WARUM das Behautete jeweils so ist.

Erst danach kannst du dir Gedanken darüber machen (und gegebenenfalls auch fragen), wie man das erkannte "WARUM" dann als Beweis niederschreibt.

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Ich habe die Dreiecke gezeichnet, betrachtet und mir Gedanken gemacht nur wie gesagt stehe ich irgendwie auf dem Schlauch.

Und bei genau diesem WARUM hängt es bei mir ja gerade. Deswegen habe ich die Frage ja gestellt damit mir jemand auf die Sprünge helfen kann.

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Ja, die Betrachtung der drei Fälle ist unterschiedlich schwer.

Dass du aber selbst den trivialen Fall γ=90° (den dir jeder Durchschnittsschüler der Klasse 7 mit "die Höhen müssen alls durch C gehen"  beantworten kann) weiterhin als Problem einstellst, ist für mich Anlass für einen dezenten Rückzug aus diesem Thema.

PS: Den "Beleidigungs"-Knopf hast du schnell gefunden.

Sei dir sicher: Beleidigungen würden anders klingen, aber du wirst nicht erfahren, wie (jedenfalls nicht von mir).

Werde glücklich mit der Hilfe anderer. Ich habe nur erklärt, warum für mich "Schicht im Schacht" ist.

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Tipp: betrachte die Ecke mit dem größten Winkel im Dreieck und stelle fest wo die Höhe(n-gerade) eines zweiten Punktes in Abhängigkeit dieses Winkels verläuft.

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Hallo

konzentriere dich auf den Schnittpunkt von 2 Höhen, wenn oder da bekannt ist, dass sich alle 3 schneiden

Dann ist das rechtwinklige trivial

betrachte 2 Höhen im stumpfen Dreieck die von dem spitzen Winkeln weglaufen zeige dass beide ganz ausserhalb des Dreiecks laufen, benutze das das rechtwinklige Höhendreieck , (in dem Sinn ist eine Zeichnung unvollständig,) man sollte sehen, dass das Höhen sind.

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Dann ist das rechtwinklige trivial

Sei vorsichtig. Das könnte dir vom Fragesteller als Beleidigung markiert werden.

Answer 1

Die Höhe steht auf einer Seite bzw. deren Verlängerung senkrecht und geht durch die gegenüberliegende Ecke.

Betrachte jetzt mal alle stumpfwinklicken Dreiecke mit der Grundseite c und α oder β größer als 90 Grad.

Wo verlaufen diese Höhen auf der Seite c und warum?