Schnittpunkt berechnen von Richtungsvektoren

Question

Hi :)

Wir lösen gerade eine Aufgabe für die Schule und kommen nicht weiter, weil jeder eine andere Lösung hat.

Aufgabe

Für k = 3 schneiden sich die zwei Geraden im Punkt S. Bestimme seine Koordinaten sowie den Schnittwinkel der beiden Geraden.

Gegeben sind die beiden Geraden \( f:\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}k-9 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]+s\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right] \) und \( g:\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}8 \\ 7 \\ 9\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}4 \\ 2 \\ k\end{array}\right] \).

Danke

Answer 1

Hallo,

Wenn man mit \(k=3\) beide Geraden gleich setzt, dann erhält man

$$\begin{pmatrix}-6\\ 0\\ 1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8\\ 7\\ 9\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}4\\ 2\\ 3\end{pmatrix} $$

bzw. folgendes (überbestimmtes) Gleichungssystem

$$\begin{array}{cc|c}2& -4& 14\\ 1& -2& 7\\ 1& -3& 8\end{array}$$

Zieht man die letzte Zeile von der mittleren und das Doppelte der letzten Zeile von der ersten ab, so erhält man

$$\begin{array}{cc|c}0& 2& -2\\ 0& 1& -1\\ 1& -3& 8\end{array}$$

Jetzt noch das dreifache der zweiten Zeile zur dritten addieren

$$\begin{array}{cc|c}0& 2& -2\\ 0& 1& -1\\ 1& 0& 5\end{array}$$

Somit ist \(s=5\) und \(t=-1\) und der Schnittpunkt ist

$$S = \begin{pmatrix}8\\ 7\\ 9\end{pmatrix} + (-1)\begin{pmatrix}4\\ 2\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\ 5\\ 6\end{pmatrix}$$

Den Schnittwinkel \(\varphi\) bekommt man über

$$ \cos \varphi = \frac{\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 1\end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix}4\\ 2\\ 3\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}4\\ 2\\ 3\end{pmatrix}\right|} = \frac{13}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{29}} \approx 0,986 \\ \implies \varphi \approx 9,8°$$

hier das ganze in Geoknecht3D.

Gruß Werner

Answer 2

Im Schnittpunkt gilt f = g, also

-6 + 2s = 8 + 4t

s = 7 + 2t

1 + s = 9 + 3t

⇒ s = 5, t = -1

Setze diese Werte in f oder g ein, und Du hast den Schnittpunkt gefunden.

Den Schnittwinkel, der im Titel nicht erwähnt ist aber weiter unten, findet man mit den Richtungsvektoren. Der Titel "Schnittpunkt berechnen von Richtungsvektoren" verwirrt mich ohnehin etwas. Der Schnittpunkt wäre von den Geraden, nicht von den Richtungsvektoren.