Bestimmen Sie alle (reell- oder komplexwertigen) Lösungen der Gleichung i+(z-1)3 =i·z

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie alle (reell- oder komplexwertigen) Lösungen der Gleichung i+(z-1)³  =i·z
Geben Sie die Lösungen mittels der Exponentialfunktion mit komplexem Argument
und Winkeln in rad an. Geben Sie für eine der Lösungen ebenfalls die Lösung in
der Form a + bi an.

Problem/Ansatz:

Hallo,

Grundsätzlich habe ich verstanden was gefragt wird. Ich soll die Gleichung in die Form z=r·e^φi bringen. Ich habe allerdings große Schwierigkeiten beim umstellen. Weiterhin hab ich auch noch nicht so recht verstanden wie man auf die genaue Winkelzahl kommt. Mir ist bewusst, dass der Winkel sich aus tan^-1 (\( \frac{Imaginärteil}{Realteil} \)) zusammensetzt, aber wie komme ich auf die genaue Winkelzahl?

Comments

Mir ist bewusst, dass der Winkel sich aus tan-1 (\( \frac{Imaginärteil}{Realteil} \)) zusammensetzt, aber wie komme ich auf die genaue Winkelzahl?

Dann muss die Frage doch lauten "Wie komme ich auf Real- und Imaginärteil ?"

Die Aufgabenstellung führt vielleicht insofern vom besten Lösungsweg weg, weil erst im zweiten Teil etwas verlangt wird, was man am besten als erstes macht.

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Stelle i+(z-1)³  =i·z um zu

(z-1)³=i·z-i

(z-1)³=i·(z-1)

oder noch besser

(z-1)³-i·(z-1)=0

Jetzt ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden...

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Mir ist bewusst, dass der Winkel sich aus tan-1 (\( \frac{Imaginärteil}{Realteil} \)) zusammensetzt,

Wird immer wieder behauptet, ist aber falsch. Schau genau in Deine Unterlagen und prüfe anhand einer Skizze.

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Eine der drei Lösungen (z=1) sieht man ohne zu rechnen. Die anderen beiden Lösungen erhält man, indem man (z-1)³=i·(z-1) durch z-1 dividiert und auf beiden Seiten die Wurzel zieht.

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@LisaBisa2000 Danke für den Stern.

Ich hatte davor einen kleinen Fehler gemacht, der jetzt nicht im inhaltlichen Sinne, sondern im professionellen Sinne war. Die Lösung stimmt also weiterhin :)

Ist jetzt aber nochmal korrigiert.

Answer 1

Hallo.

(Endgültige Version)

Setze x := i^(1/2) = e^(πi / 4), s.d. dann die Gleichheit x^2 = e^(πi / 2) = i gilt.

Stelle die Gleichung um, indem du iz aus der linken Seite auf die rechte Seite bringst und die imaginäre Einheit ausklammerst. Es gilt:

i + (z-1)^3 = iz

<=> (1-z)i + (z-1)^3 = 0

<=> (1-z)i - (1-z)^3 = 0

<=> (1-z) (i - (1-z)^2) = 0

<=> 1-z = 0 oder i-(1-z)^2 = 0

<=> 1-z = 0 oder x^2 -(1-z)^2 = 0

*<=> z = 1 oder (x-(1-z))(x+(1-z)) = 0

<=> z = 1 oder z ∈ {1-x, 1+x}

*Man nutzt die dritte binomische Formel und die Gleichheit x^2 = i von oben.

Also sind deine Lösungen:

z_1 = 1, z_2 = 1+x & z_3 = 1-x

Die Lösungsmenge ist damit also L = {1+x, 1-x, 1} ⊂ C.

Die Lösungen z_2 und z_3 kannst du dann noch in kartesiche Form bringen, um deren Winkel und Betrag zu bestimmen.

Comments

Geben Sie die Lösungen mittels der Exponentialfunktion mit komplexem Argument und Winkeln in rad an.

Dein letzter Satz erscheiint mir hier nicht sehr hilfreich zu sein.

Die Lösungen z_2 und z_3 kannst du dann noch in kartesiche Form bringen.

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Hallo danke für die ausführliche Antwort! Eine frage hätte ich allerdings wie bestimme ich die genaue Winkelzahl nun?

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@Txman Warum rechnest Du (wieder) vor? abakus hat doch schon den entscheidenden Tipp gegeben.

@LisaBisa2002 Winkel mit der richtigen Formel, schau in Deine Unterlagen, die kennen wir nicht. Das ist nicht einheitlich. Findet man auch alles bei wikipedia (Polarkoordinaten).

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Der Winkel von z_1 = 1 sollte klar sein.

Ich mache es mal für z_2 = 1+sqrt(i) vor und das andere überlasse ich dir als Übung :)

Wir identifizieren erstmal sqrt(i).

Beachte i = e^(π/2)i, nach der Eulerformel.

Dann ist sqrt(i) := i^(1/2) = e^(π/4)i, mit der Potenzregel. Da lässt sich ablesen, das sqrt(i) den Winkel π/4 und den Betrag / Radius 1 hat. (Stichwort: Eulerformel)

Dann gilt:

sqrt(i) = e^(π/4)i = cos(π/4)+i sin(π/4), wegen der Identität e^ix = cos(x)+i sin(x) für alle x ∈ C.

Damit ist 1+sqrt(i) = 1+cos(π/4)+i sin(π/4), wodurch also die komplexe Zahl z_2 den Realteil 1+cos(π/4) & Imaginärteil sin(π/4) hat.

Nun hast du die kartesiche Form und kannst damit den Winkel, Betrag etc ganz einfach mit den Formeln berechnen…

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Du wirst wieder sagen: "Ich habe es unschön hingeschrieben." Aber Deine Polar- Darstellung für i ist falsch.

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Wo ist das falsch?

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Da ist so einiges falsch. Es fängt damit an, dass \(\sqrt{} \) nicht für komplexe Zahlen definiert ist. Und endet mit dem falschem Ergebnis. Aber FS scheint damit zufrieden.

@Txman Es wäre sinnvoll, wenn Du sorgfältiger an Deine Antworten rangehst. Die FS nehmen Antworten hier gutgläubig als richtig hin und die anderen Helfer kostet es Zeit/Aufwand regelmäßig hinter Dir aufzuräumen.

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<=> 1-z = 0 oder i-(1-z)2 = 0
<=> z = 1 oder z2 - 2z + 1-i = 0
Für das zweite nutze die quadratische Formel ...

Die 'quadratische Formel' ist unnötig, da die Lösung schon aus der ersten Zeile folgt. $$\begin{aligned} i - \left(1-z\right)^{2} &= 0 \\ i &= \left(1-z\right)^{2}  &&|\,\sqrt{} \\  \pm\sqrt{i} &= 1-z \\ z_{2,3} &= 1 \mp\sqrt{i} = \dots \end{aligned}$$

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Ja stimmt, die quadratische Formel ist in dem Falle hier nicht legitim. Habe es jetzt nochmal an der Stelle überarbeitet. Jetzt stimmt es in jedem Falle. Die Lösung ist aber dieselbe geblieben, da diese Fehler nicht inhaltlichen Sinne sondern eher im professionellen Sinne war.

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@Werner-Salomon So gehts auch :)

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@Txman Da steht weiterhin \(sqrt{i}\), das ist nicht nur unprofessionell, sondern falsch. Dass andere Helfer (Nichtmathematiker!) denselben Fehler machen, spielt dabei keine Rolle. Du als Mathe-Studi (wenn ich mich recht erinnere) solltest das wissen (und zwar bevor(!) Du solche Fragen beantwortest).

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@nudger

Das sqrt(…) i.A. in C so wie in |R definiert sei und dieselben Eigenschaften habe, hatte ich ja auch jetzt nicht behauptet. Besser gesagt, habe ich meinen Fehler dazu ja korrigiert.

Fakt: Es gibt eine Zahl z in C, sodass die Gleichheit z^2 = i = e^(π/2)i erfüllt ist. Weiter ist bekannt, das also für diese Zahl z = a+bi die Gleichung z^2 = (a+bi)^2 = i auch nur eine eindeutige Lösung hat. Das ist in dem Falle die Zahl e^(π/4)i, also können wir damit z = e^(π/4)i = i^(1/2) =: sqrt(i) definieren.

Ich habe also ausschließlich nur die Gleichheit z^2 = i genutzt, wobei ich eben die eindeutige Lösung z = e^(π/4)i von z^2 = i, als z := sqrt(i) definiert habe.

Edit: @Werner-Salomon das ist tatsächlich doch an der Stelle mit +/- nicht ganz richtig.

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Nein, eben nicht.

Fakt: Es gibt...

Das ist schlicht falsch. Und eben kein Fakt.

Und jetzt frag nicht, wieso, es ist Deine(!) Aufgabe als Antworter für richtige Antworten zu sorgen.

Einfach mal was behaupten, dann etliche Male bearbeiten und nachher Ausreden präsentieren ist verantwortungslos gegenüber den FS, die das (so wie vermutlich hier), dankbar für ihre Hausaufgaben abschreiben.

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Bitte erkläre doch mal, was daran falsch sein soll. Nochmal: Die Wurzel ist hier nur eine Definition. Ich habe nur die Tatsache genutzt, das (e^(π/4)i)^2 = e^(π/2)i = i gilt und e^(π/4)i = i^(1/2) =: sqrt(i) gesetzt.

Übrigens siehe Geogebra:

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}z_{1}=\sqrt{i} \\ =0.7071067811865+0.70710678118\end{array} \)

Also gibt es das ja in dem Falle.

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Was Du persönlich fälschlich definierst, interessiert hier nicht. Auf Fehler in Software nicht. Schau in Deine Vorlesungsunterlagen!

Arbeite an der Gründlichkeit, die genannte Gleichung ist eben nicht eindeutig lösbar (übrigens auch im reellen schon nicht).

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Um Himmels Willen: Es ist nicht e^(π/4)i, sondern  e^(iπ/4).

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@Mathhilf Das i soll da im Exponent stehen

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@nudger

,,Eindeutig‘‘ wahr falsch. -e^(π/4)i ist ja auch eine Lösung.

Es geht einfach darum, das ich hier die Tatsache z^2 = i mit z = e^(π/4)i genutzt habe.

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@txman Warum klammerst Du es dann beharrlich anders?

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,Eindeutig‘‘ wahr falsch.

Schrödingers Rechtschreibfehler.

☺

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@Mathhilf Wenn ich da keine Klammer machen würde, würde da π/2i stehen und man würde denken, das i steht um Nenner, was ja falsch ist.

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Dann helfen weitere Klammern. Vielleicht machst Du Dir die Mühe und liest in meinem Kommentar, wie ich das "Problem" gelöst habe.

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Es geht einfach darum, das ich hier die Tatsache z2 = i mit z = e^(π/4)i genutzt habe.

Nein, Du weichst aus. Du weißt um was es geht.

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Okay der Teil nochmal. Ich schreibe jetzt mal bewusst nicht sqrt(i) und nach @Mathhilf Wunsch, den Exponent genauer.

Setze x := e^(πi/4), s.d. x^2 = e^(πi/2) = i ist. Dann gilt mit der dritten binomischen Formel:

i-(1-z)^2 = x^2 -(1-z)^2 = (x-(1-z))(x+(1-z))

Daraus folgt der Rest von oben.

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Oben steht weiterhin die Wurzel. Du bist stets bemüht zu helfen, lobenswert, aber fast jedesmal stiftest Du mit zig Neubearbeitungen und Ergänzungen mehr Verwirrung als Du hilfst. Merkst Du das nicht selbst? Könntest Du aus dieser Selbsterkenntnis (falls vorhanden) nicht Konsequenzen ziehen? Bei manch anderen Helfern sind solche Hinweise vergeblich, bei Dir habe ich noch Hoffnung (die aber täglich geringer wird).

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Ja, hast Recht. Das ist mir bewusst, das das häufige Bearbeiten unschön ist. Das versuche ich zukünftig zu vermeiden und zu minimieren. Danke für die Bemerkung!

Die Wurzel steht oben zwar noch, aber das möchte ich gerne nicht mehr ändern, da ich es sonst wider bearbeiten müsste, was den FS wider nur verwirren würde. Es ist ja auch kein erheblicher inhaltlicher Fehler. Ich habe ja oben am Anfang zumindest den Wurzel-Ausdruck noch als das Richtige definiert. Dazu steht ja jetzt hier unten auch nochmal das ,,Bessere‘‘.

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Wurzel-Ausdruck noch als das Richtige definiert

Du hast es immer noch nicht verstanden.

Es ist ein inhaltlicher Fehler, den viele Nichtmathematiker für nicht erheblich halten, aber Mathematiker eben schon.

Und schon deshalb erheblich, weil FS jetzt vermutlich auch andere Aufgaben mit der Wurzel so rechnet (weil's ja hier im Forum so gezeigt wurde).

Nochmal an Dich, @Txman, schau in die Vorlesungsunterlagen (vlt besser nicht in die von Deinem Prof) und mach Dir klar, was "wohldefiniert" bedeutet (Handwerkszeug für Mathematiker, auch für angehende).

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Verstehe was du meinst. Das ist mir schon klar. Habe das jetzt oben nochmal bearbeitet. Hoffe mal der FS kann das nachvollziehen.

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Habe das jetzt oben nochmal bearbeitet.

Ok - aber es steht dort weder die Lösung der Aufgabe

Geben Sie die Lösungen mittels der Exponentialfunktion mit komplexem Argument
und Winkeln in rad an

noch wurde die Frage beantwortet

... Eine frage hätte ich allerdings wie bestimme ich die genaue Winkelzahl nun?

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Eine Antwort muss und sollte auch nicht aus der vollständigen Lösung der Aufgabe bestehen.