Aloha :)
Wandle die Zahl mit der Eulerformel \(e^{\pm ix}=\cos x\pm i\sin x\) in die Polardarstellung:$$z^4=-28i=28\cdot(\underbrace{\cos\frac{\pi}{2}}_{=0}-i\cdot\underbrace{\sin\frac{\pi}{2}}_{=1})=28\cdot e^{-i\frac{\pi}{2}}$$Wir wollen alle Lösungen der Gleichung haben, also berücksichtigen wir, dass man zu einem Winkel beliebig oft \(2\pi\) addieren oder subtrahieren kann, ohne dass sich der Sinus oder der Cosinus ändert:$$z^4=28\cdot e^{-i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot k\right)}\quad;\quad k\in\mathbb Z$$$$z=\sqrt[4]{28}\cdot\sqrt[4]{e^{-i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot k\right)}}=\sqrt[4]{28}\cdot e^{-i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot k\right)\cdot\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{28}\cdot e^{-i\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{2}\cdot k\right)}$$Wir lesen folgende Lösungen ab:
$$k=0:\quad z=\sqrt[4]{28}\cdot e^{-i\pi/8}$$$$k=1:\quad z=\sqrt[4]{28}\cdot e^{+3\pi/8}$$$$k=2:\quad z=\sqrt[4]{28}\cdot e^{+7\pi/8}$$$$k=3:\quad z=\sqrt[4]{28}\cdot e^{+11\pi/8}$$
Für \(k=4\) ergibt sich \(z=\sqrt[4]{28}\cdot e^{+15\pi/8}\). Das ist aber dasselbe wie \(z=\sqrt[4]{28}\cdot e^{-i\pi/8}\), weil wir ja \(2\pi\) vom Argument subtrahieren dürfen, ohne dass sich die Werte ändern. Ab \(k=4\) wiederholen sich also die Lösungen. Insgesamt haben wir \(4\) unterschiedliche Lösungen der Gleichung gefunden.
