Question

Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung z4 + 8 = 0.

Geben Sie die Lösung sowohl in Polar-Koordinaten, als auch in kartesischen Koordinaten an. 

Answer 1

$$z^4+8=0\\ z^4=-8\\ ⇒|z_1|=\sqrt{(-8)^2+0^2}=8\\ tanφ=\frac{Imaginärteil}{Realteil}=\frac{0}{-8}=0\\ φ=π \phantom{8}\text{2. Quadrant}\\ n = 4\\ [allg.: \quad z_k=|z_1|^{\frac{1}{n}}e^{\frac{φ+2kπ}{n}}\qquad (k=0,1,2,3)]\\ ⇒ \\ z_0=8^{\frac{1}{4}}e^{i\frac{π+2 \cdot 0π}{4}}\\ z_0=\sqrt[4]{8}e^{i\frac{π}{4}}\\ z_0=\sqrt[]{8}(cos(\frac{π}{4})+i\quad sin(\frac{π}{4}))\\ z_0=\sqrt[4]{8}(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\quad \frac{\sqrt{2}}{2} )\\ z_0\approx 1,189 + i\space 1,189\\ z_1\approx1,189-i\space 1,189\\ z_2\approx -1,189 +i\space 1,189\\ z_3\approx -1,189-i\space 1,189$$
                  

Comments

vielen Dank für die Ausführliche Lösung. Es ist sehr verständlich

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Ich habe da leider noch ein Problem was ich nicht ganz nachvollziehen kann.

Dein Rechenweg kann ich vollkommen nachvollziehen, aber neben der allgemeinen Formel die du nutzt für zk, habe ich noch eine andere gefunden und zwar steht bei der im Exponenten von e^{2pi*k/n}also sowie deins nur ohne den Summanden "argument/n"

Wenn ich das so anwende komme ich auf die Werte:

z0= 2^{3/4}
z1= i * 2^{3/4}
z2= -2^{3/4}
z3= i * -2^{3/4}

So und nun zum wirklich Interessanten, denn WolframAlpha sagt mir von den 4 gesuchten Ergebnissen, zwei Ergebnisse aus die zu deiner allg. Formel passen und zwei Ergebnisse die zu meiner passen!https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E4%2B8%3D0

Was ist denn jetzt das wirklich Richtige oder übersehe ich einfach etwas?

Answer 2

+- (-2)^{3/4} = z_1 und z_2

+-(1+i)*sqrt4(2)

Das sind die kartesischen Formen. Die Polarkoordinaten gibt es mit folgender Umrechnung: http://www.mathe-online.at/lernpfade/Lernpfad795/?kapitel=3