Finden Sie alle komplexwertigen Lösungen von: z4=-28i.

Question

Aufgabe:

Finden Sie alle komplexwertigen Lösungen von: z4=-28i.

Geben sie die Lösung in Polardarstellung an.

Problem/Ansatz:

Ich habe keinen blassen Schimmer, wie ich das angehen soll.

Kann mir das wer bitte schritt für schritt erklären? Woher weiß ich, welche Winkel in der Polardarstellung liegen müssen später?

Answer 1

z⁴ = -28·i = 28·e^(i·3/2·pi)

z = 28^(1/4)·e^(i·(3/8 + k·1/2)·pi)

Answer 2

Aloha :)

Wandle die Zahl mit der Eulerformel $e^{\pm ix}=\cos x\pm i\sin x$ in die Polardarstellung:$$z^4=-28i=28\cdot(\underbrace{\cos\frac{\pi}{2}}_{=0}-i\cdot\underbrace{\sin\frac{\pi}{2}}_{=1})=28\cdot e^{-i\frac{\pi}{2}}$$Wir wollen alle Lösungen der Gleichung haben, also berücksichtigen wir, dass man zu einem Winkel beliebig oft $2\pi$ addieren oder subtrahieren kann, ohne dass sich der Sinus oder der Cosinus ändert:$$z^4=28\cdot e^{-i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot k\right)}\quad;\quad k\in\mathbb Z$$$$z=\sqrt[4]{28}\cdot\sqrt[4]{e^{-i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot k\right)}}=\sqrt[4]{28}\cdot e^{-i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot k\right)\cdot\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{28}\cdot e^{-i\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{2}\cdot k\right)}$$Wir lesen folgende Lösungen ab:

$$k=0:\quad z=\sqrt[4]{28}\cdot e^{-i\pi/8}$$$$k=1:\quad z=\sqrt[4]{28}\cdot e^{+3\pi/8}$$$$k=2:\quad z=\sqrt[4]{28}\cdot e^{+7\pi/8}$$$$k=3:\quad z=\sqrt[4]{28}\cdot e^{+11\pi/8}$$

Für $k=4$ ergibt sich $z=\sqrt[4]{28}\cdot e^{+15\pi/8}$. Das ist aber dasselbe wie $z=\sqrt[4]{28}\cdot e^{-i\pi/8}$, weil wir ja $2\pi$ vom Argument subtrahieren dürfen, ohne dass sich die Werte ändern. Ab $k=4$ wiederholen sich also die Lösungen. Insgesamt haben wir $4$ unterschiedliche Lösungen der Gleichung gefunden.

Comments

Wow, super Erklärung! Wie genau bist du auf Pi/2 gekommen? Gibt es einen Weg, diesen Winkel zu berechnen?

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Ich wusste zufällig auswendig, dass $\cos\frac{\pi}{2}=0$ und $\sin\frac{\pi}{2}=1$ ist. Deswegen konnte ich den Winkel sofort hinschreiben. Du kannst diesen Winkel wie folgt ausrechnen:$$\phi=\arccos\left(\frac{\text{Realteil}}{\text{Betrag}}\right)=\arccos\left(\frac{\text{Re}}{\sqrt{\text{Re}^2+\text{Im}^2}}\right)$$Hier ist der Realteil $0$ und der Imaginärteil $-28$. Daher gilt:$$\phi=\arccos\left(\frac{0}{\sqrt{0^2+(-28)^2}}\right)=\arccos\left(0\right)=\frac{\pi}{2}$$

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Verstehe, danke! Was passiert eigentlich mit dem Vorzeichen in der e-Potenz? Wie wird sie von "-" zu "+"?

Liebe Grüße und viel gesundheit!