Finden sie alle komplexwertigen Lösungen und geben sie diese in Polarkoordinaten an.

Question

Aufgabe:

Finden sie alle komplexwertigen Lösungen und geben sie diese in Polarkoordinaten an.

z⁴+2•(\( \sqrt{12} \)-2i)•z²+8-4•\( \sqrt{12} \)•i=0

Problem/Ansatz:

Ich habe überlegt, z² durch x zu substituieren, aber danach weiß nicht, wie es weitergeht:

x² + 2•(\( \sqrt{12} \)-2i)•x + 8 -4•\( \sqrt{12} \)•i=0

wäre sehr dankbar für einen besseren Ansatz oder ein Heads-Up, wie ich mit dem hier weitermache.

Answer 1

Hallo,

Ich habe überlegt, z^2 durch x zu substituieren ------>das ist richtig

x^2 +2(√(12) -2i)x+8 -4 √(12) i=0 ist auch richtig

Wende die pq-Formel an:

ich habe erhalten : x=-2√3 +2i

Bilde Betrag und Winkel : ich habe erhalten : |x|=4;  φ =(5 π)/6 , 2.Quadrant

Resubstitution:

x=z^2

z^2= 4 * e^( i *5*π)/6)

z= ±√ (4 * e^(( i *5*π)/6))

z= ± 2 e^((i 5π)/12 )

Comments

Hey, danke für die schnelle und aufschlussreiche Antwort.

Eine Rückfrage allerdings:

Ich komme auf einen anderen Winkel, nämlich arctan(2/-2*sqrt(3)) = -30°.

Habe ich mich verrechnet?

Wenn ja, wo?

---

-30° ist das gleiche wie 150°

-30° +180°= 150° (2.Quadrant) , also 180° dazu addieren