Begründen sie, dass g zu keiner Geraden h parallel ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Geraden g: x = (-2;0;3) + r * (1;2;1)  und h: x= (1;-3;0) + s*(a;1;2)

a) Begründen sie, dass g zu keiner Geraden h parallel ist.

b) Bestimmen die den Wert von a, sodass sich g und h schneiden

c) Alle Geraden h liegen in einer Ebene E. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung

Problem/Ansatz:

Ich brauche dringend einen Ansatz. Vielen Dank!

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c) Ein möglicher Normalenvektor der Ebene, der zu allen Richtungsvektoren orthogonal verläuft, ist n=[0;2;-1].

n*x= 0*1+2*(-3)-1*0=-6

2y-z+6=0

:-)

Answer 1

Zu c) Du brauchst zwei Richtungsvektoren der Ebene, diese erhältst Du mit zwei versch. Werten von \(a\). Bilde dazu mit Kreuzprodukt den Normalenvektor und damit liegt die Koordinatenform schon fast vor. Den fehlenden Parameter bestimmst Du durch Einsetzen des gegebenen Punkts.

Comments

Vielen Dank! Was kommt bei der b) raus? Habe für a 3

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Zu b) Du kannst das Gleichungssystem, das durch Gleichsetzen entsteht, leicht ohne Gauss direkt lösen: Aus den letzten beiden Gleichungen bestimmst Du \(r\) und \(s\) und das in die erste Gleichung eingesetzt ergibt \(a\). Ich komme so auf \(r=-1,\, s=1,\, a=-4\). Probe nicht vergessen.

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Bei mir kommt für r = -2s -3 raus

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Das ist ja nicht vollständig ausgerechnet, nur eine Gleichung. Und die stimmt auch nicht. Schreib die Gleichungen richtig ab und gehe vor wie eben erklärt.

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Meine Gleichungen lauten

I) -a*s + r = 3

II) -s + 2r = -3

III) -2s + r = -3

für r kriege ich r= -3+2s raus für s= -2

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Die Gleichungen stimmen nun. Und zum 3. Mal: gehe vor wie oben erklärt, und lass sehen, welche Zahlen Du für r,s,a erhältst. Rechne bis zum Ende durch. Und mach die Probe.

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Ich hab’s jetzt genauso gemacht, allerdings habe ich für a = -3 raus

Meine Frage ist aber, ob ich jetzt mithilfe der Punktprobe weiterrechnen soll? Damit ich überprüfen kann, ob die Funktionen sich schneiden oder entweder windschief zueinander sind.

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Aus meinem vorigen Kommentar: "....welche Zahlen Du für r,s,a erhältst."

Und?

"Probe" heißt, Du behauptest eine Lösung der Gleichung g=h gefunden zu haben, prüfe durch Einsetzen, ob diese wirklich eine ist. Nochmal: Eine Lösung besteht aus r,s,a.

Wenn ja, dann hast Du insb. das gewünschte a gefunden.

Answer 2

Hallo.

a) Du musst zeigen, das die Richtungsvektoren von g und h linear unabhängig sind.

Du betrachtest c (1,2,1)^T = (a,1,2)^T, eine lineare Relation. Das führt zu einem Gleichungssystem, wo du unabhängig von der Wahl von a erkennen solltest, das es an der zweiten und dritten Gleichung scheitert, da c wegen diesen nicht eindeutig sein kann. Das führt dazu, das die Vektoren linear unabhängig sind und die Geraden damit nicht parallel.

b) Nach der vorherigen Aufgabe, sind die Geraden also nicht parallel und auch nicht identisch. Sie können sich also nur an einem Punkt schneiden oder sind eben windschief.

Ansatz: Du setzt g = h und bildest damit das lineare Gleichungssystem, welches du erstmal mit unbekannten a mit dem Gauss-Verfahren löst. Das LGS muss lösbar sein, damit die Geraden sich schneiden können. Am Ende hast du dann typischerweise die eine Gleichung (meistens die letzte), welche die Lösbarkeit des LGS entscheidet. Da überlegst du dir dann für welche a, diese Gleichung erfüllt ist und für diese a ist dann das LGS auch eindeutig lösbar, wodurch sich die Geraden dann schneiden.

c) Finde einen Vektor der linear unabhängig zu dem Richtungsvektor der Geraden h ist und stelle damit die Ebenengleichung auf. Um die Ebenengleichung aufzustellen, nimmst du einfach den Ortsvektor von der Geraden h und als die beiden Richtungsvektoren dann einmal den Richtungsvektor von h, so wie den dazu linear unabhängigen Vektor, den du gefunden hast.

Nachdem du die Ebene hast, bringst du die in typischerweise in Koordinatenform, was auch klar sein sollte.

Comments

Lösung zu c) ist falsch.

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Warum ist c) falsch?

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siehe meine Antwort unten.

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@nudger Wieso ist c) falsch?

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@Txman Nicht schon wieder...

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@nudger

Seien w,x ∈ |R^3 \ {0} linear unabhängig und v ∈ |R^3.

Es gilt dann für lineare Unterräume Lin(w) ⊂ Lin(w,x), wobei eben hier Lin(w) die eindimensionale Ursprungsgerade mit Richtung w und Lin(w,x) die zweidimensionale Ursprungsebene ist. Das ganze übeträgt sich auch auf die affinen Unterräume im |R^3 wie in dem Beispiel des FS, da diese in dem Falle eine Translation der linearen Unterräume um den Ortsvektor / Fusspunkt sind.

Jede Gerade {v + tw : t ∈ |R, w ≠ 0} ist also eine Teilmenge von jeder Ebene

 {v + tw + rx : t,r ∈ |R}.

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Du kannst nicht einfach einen beliebigen linear unabhängigen Vektor nehmen. Denke mal darüber nach, warum nicht...

Answer 3

a) Begründen Sie, dass g zu keiner Geraden h parallel ist.

Gäbe es eine Gerade h, die zu g parallel ist, müssten die jeweiligen Richtungsvektoren kollinear (also Vielfache voneinander) sein. Das sind sie jedoch für kein a, da bereits die Vektoren (2;1) und (1;2) offensichtlich nicht kollinear sind. Als Begründung genügt also:

Die Richtungsvektoren der Geradenpaare sind für kein a kollinear.

Comments

Das habe ich schon gesagt und das ist dem FS auch schon bestimmt bekannt.

Stichwort: Wiederholung

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Das habe ich schon gesagt

Nein, du sagtest genau das Gegenteil...

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Ich zitiere:

a) Du musst zeigen, dass die Richtungsvektoren von g und h kollinear sind. (...) Das führt dazu, das die Vektoren kollinear sind und die Geraden damit nicht parallel.

Zeigen muss man hier eigentlich nichts, denn gefordert war "Begründen Sie...".

Die Nichtparallelität der Geraden für alle möglichen a wird aber nicht durch die Kollinearität der Richtungsvektoren begründet, sondern durch ihre Nichtkollinearität.

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Da habe ich wohl die Begruffe verwechselt. Ich nutze hauptsächlich die Wörter linear abhängig und unabhängig und daher kam das, das ich mit dem Begriff kollinear nicht ganz vertraut war.

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Es zwingt Dich doch keiner zu antworten, wenn Du mit den Begriffen "nicht ganz vertraut" bist. Es hindert Dich auch keiner, Dich erstmal mit den Begriffen vertraut zu machen, BEVOR Du antwortest. Ist Dir schon oft gesagt worden, aber ein Lerneffekt ist bei Dir nicht erkennbar. Wieder mal eine Antwort, die in Teilen falsch war.

Das ist hochgradig unprofessionell. Bitte lass es, es hilft keinem.

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Ich verstehe ja was du meinst, aber jetzt tue doch bitte nicht so als würde ich hier der Idiot des Jahres sein. Ich habe vielleicht jetzt das zweite mal einen ,,erheblichen‘‘ Fehler gemacht, wofür ich mich auch entschuldige. Oder kannst du mir weitere Beispiele nennen? Komm mir jetzt nicht mit dem ,,sqrt(i)‘‘, denn das war kein inhaltlicher Fehler und da hatte ich es auch definiert.

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Ein weiteres Beispiel: e^(π/2)i statt e^(iπ/2)

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Du entscheidest ja selbst, dass Deine diversen Fehler gar keine wirklichen sind, weil keine "inhaltlichen", nur unschön geschrieben, nicht alle Voraussetzungen genannt, intuitiv erklärt usw. Gut bist Du im Finden von Ausreden, als Helfer aber, bei Deinem derzeitigen Erfahrungsstand, ungeeignet.

Fehler sind Fehler, das mit der Wurzel hast Du immer noch nicht verstanden. Weiteres Beispiel: Falsche x-Achse beim Integrieren. Und vermutlich lieferst Du heute mindestens ein weiteres.

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Woher möchtest du denn meinen Erfahrungsstand kennen? Ich habe wie gesagt vielleicht in zwei Beiträgen Fehler gemacht, wo ich mich auch entschuldigt habe. Hast du noch nie Fehler gemacht? Ich gebe dir da ja auch Recht, das es nicht professionell ist und achte jetzt auch mehr drauf.

Mit der Wurzel habe ich schon verstanden, was du meinst, sonst hätte ich ja am Ende nicht das ganze korrigiert. Ich gab dir da Recht, das es mathematisch strenggenommen nicht so geschrieben werden sollte. Jedoch sehe ich das nicht als einen erheblichen inhaltlichen Fehler, wie wenn man jetzt sagt 1+1 = 3. Es ist einfach mathematisch unschön, aber im Prinzip habe ich da das ganze ja auch DEFINIERT, das ist ein Unterschied als da einfach die Wurzel hinzuschreiben als wäre dieser ein wohldefinierter Ausdruck wie jetzt z.B. sqrt(2).

Mit der x-Achse und dem Integral habe ich ja den Beitrag nicht aus Absicht wieder rausgenommen bzw. eben zu einem Kommentar gemacht.