Zeigen Sie, dass die Strecke BD den Winkel EDC halbiert.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten Figuren, die durch die Koordinaten einiger ihrer Punkte und die zur jeweiligen
Figur gehörenden Verbindungsstrecken gegeben sind. A(1, 2), B(13, 2), C (25, 2), D(25, 11) und E(1, 18) mit den Seiten AB, BC , CD, DE, EA, BE und BD. Zeigen Sie, dass die Strecke BD den Winkel EDC halbiert.

Comments

Benutze, dass die Diagonale im Rhombus Winkelhalbierende ist

 

sowie etwas Vektorrechnung.

Answer 1

Hallo.

Vorab ich bezeichne mit sqrt unten die Quadratwurzel.

Nun das Vorgehen:

Berechne erstmal den Winkel zwischen den Vektoren ED := D-E und CD := D-C. Ich bezeichne diesen Winkel mal als θ.

Dann zeige einfach das der Winkel der Vektoren BD := D-B & ED, so wie BD & CD genau die Hälfte von θ ist.

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Ein Winkel α zweier Vektoren v := (a,b,c) und w := (d,e,f) lässt sich berechnen durch die Formel

α = arccos((v•w) / (|v| |w|))

Im Zähler steht v•w := ad+be+cf für das Skalarprodukt der beiden Vektoren v und w. Im Nenner ist |v| |w| das Produkt der Norm von v = (a,b,c) mit der Norm von w = (d,e,f), wobei z.B. die Norm von v definiert ist als die euklidische Norm |v| := |(a,b,c)| = sqrt(a^2 + b^2 + c^2).

Übrigens ist arccos := cos^(-1) : [-1,1] —> [0,π] die Umkehrfunktion vom Cosinus cos.

Comments

Deine Formel für den Winkel ist falsch.

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Aha und wie kannst du das erklären?

\( \theta=\cos ^{-1}\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|}\right) \)

Quelle: Studyflix

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Du hast den Fehler deiner Formel nachträglich durch

im Nenner steht das Produkt der Beträge

selbst mündlich korrigiert. Bei deinem Formelaufschrieb fehlen Klammern.

Es ist übrigens überhaupt nicht notwendig, die zwei Winkel abschließend konkret mit einem Taschenrechner-Rundungsfehler-behafteten arccos-Gedöns zu berechnen.

Es genügt hier zu zeigen, dass cos α = cos β gilt.

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Mach Klammern um den Nenner, oder setze ein Divisionszeichen vor die zweite Vektorlänge. Dann stimmt Deine Formel.

Das hat Du offenbar jetzt geschnallt, und mit der von Abakus erwähnten nachträglichen Prosa-Ergänzung zu korrigieren versucht.

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@döschwo

Dann mach es wie abakus und nenne mir es explizit anstatt hier es nur als ,,falsch‘‘ abzustempeln und mir das Gefühl zu geben einen inhaltlichen erheblichen Fehler gemacht zu haben, was es jetzt hier nicht war.

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Ist jetzt übrigens korrigiert.

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Inhaltlich ist das schon "erheblich".

Wenn ich jemanden, der hier regelmäßig hilft, auf einen Fehler hinweise, erwarte ich ehrlich gesagt, dass dieser jemand auch das notwendige Fachwissen hat, diesen Fehler zu finden. Falsches Wissen zu vermitteln kann wirklich schädlich sein.

Für andere Helfer ist es zudem jedes Mal mühsam, wenn man auf solche "Flüchtigkeitsfehler" hinweisen muss, nur weil jemand nicht vernünftig und sauber arbeitet. Fast sämtliche deiner Antworten werden nachträglich derart bearbeitet, dass man als FS wirklich vorsichtig sein sollte und lieber eher Abstand davon nimmt. Das sollte einem als Helfer doch ein wenig zum Nachdenken anregen, so dass man da in Zukunft einfach mal ein bisschen sorgfältiger ist. Man kann natürlich auch jede Form von Kritik ignorieren, sollte sich dann aber über entsprechende Reaktionen auf Antworten oder Kommentare nicht wundern.

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einen inhaltlichen erheblichen Fehler gemacht zu haben, was es jetzt hier nicht war.

Da wo ich herkomme, ist Division mit Multiplikation zu verwechseln ein erheblicher Fehler.

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Ich habe das hier nicht verwechselt. Ich habe nur die Klammern zusätzlich vergessen. Das ist doch aber jetzt korrigiert.

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Langsam gewinnt man den Eindruck, es gehe hier nur noch darum, ein Forums-Mitglied mit allen Mitteln fertig zu machen, da in diesem Fall ein direkter sachlicher Hinweis auf fehlende Klammern ausgereicht hätte, zumal Tx ja in jedem seiner bisherigen und vermutlich auch zukünftigen Beiträge genügend Mist verzapft, der dann wirklich Anlass für entsprechende Kommentare liefert.

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Der Hinweis zur falschen Formel wegen fehlenden Klammern, entsprechend einer Verwechslung von Division mit Multiplikation, und zwar bevor es korrigiert wurde, ist ja nicht angekommen, sondern wurde mit "Unsinn" markiert. Und diese Markierung hat der Markierer bis jetzt nicht entfernt.

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@döschwo

Es ist ja auch Unsinn, das du mir vorwirfst Rechenoperationen verwechselt zu haben. Nochmal: Ich habe nur die Klammern da zusätzlich vergessen!

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Das kommt auf dasselbe Ergebnis heraus. Deshalb habe ich geschrieben, Du sollst entweder Klammern um den Nenner setzen oder ein Divisionszeichen. Das ist erst später, in der dritten Version Deiner Antwort geschehen.

Answer 2

Das würde bedeuten, der Winkel zwischen \( \overrightarrow{DC} \) und \( \overrightarrow{DB}\) ist gleich dem Winkel zwischen \( \overrightarrow{DB} \) und \( \overrightarrow{DE} \).

Answer 3

Für die Insider:

Man wirft mal wieder mit Kanonen auf Spatzen.

Völlig ohne Vektorrechnung kann man zeigen, dass die Gerade DB die Gerade EC im für eine Winkelhalbierende notwendigen Verhältnis teilt.

Für den Fragesteller: Bist du nicht auf die Idee gekommen

- entweder mit dem Skalarprodukt cos(∠EDB) und cos(∠BDC) zu berechnen und zu vergleichen

- oder die Abstände von B zu DC und von B zu DE zu berechnen und zu vergleichen?