Ebenenscharen und Ebenenbüschel

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die folgenden Ebenenscharen E, (a ∈ IR) Ebenenbüschel bilden. d.h., dass alle Ebenen der Schar sich in einer Geraden schneiden. Bestimmen Sie auch eine Gleichung dieser gemeinsamen Trägergeraden. Geben Sie jeweils eine Ebene an, die ebenfalls die Trägergerade enthält, aber nicht zur Ebenenschar gehört.

a) Ea: 2ax+(4-a) y-2z = 6

b) Ea: x+ay+(5-2a)z=0

c) Ea: 2ax+2y+(2-a) z=5a +2

d) Ea: (3-2a) y + (a-2) z = a -1

Problem:

War eine Woche nicht in der Schule und jetzt fehlt der Lehrer und mein Kollege sagt nur in der Aufgabe ist doch alles klar, für mich aber leider nicht, wie zeige ich dies

Und zum zweiten Teil weiß ich dann halt auch nicht woher ich das wissen soll

Danke für eure Hilfe

Answer 1

Hallo.

Nehme dir zwei Ebenen aus der Schar, z.B. E_1 und E_2, also für a = 1,2 und berechne ihre Schnittgerade, in dem du dann das daraus resultierende lineare Gleichungssystem nach x,y,z löst. Diese Vektoren (x,y,z) welche in E_1 und E_2 liegen, bilden dann eine Gerade. Am Ende musst du nur noch zeigen, das diese Gerade in E_a mit beliebigen a liegt. Das machst du dann gewöhnlich in dem du x,y,z was du im LGS berechnet hast in die Gleichung von E_a einsetzt und zeigst, das die Gleichung damit erfüllt wird.

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Ich mache dir mal eine Beispielrechnung, an der du dich orientieren kannst.

Gegeben sei für a ∈ |R die Ebenenschar
E_a : ax+y -3az = 2.

1. Schritt: Wir wählen a = 1 und erhalten einmal die Ebene E_1 : x+y-3z = 2 und a = 2 und damit E_2 : 2x+y-6z = 2. Nun suchen wir die (x,y,z) die im Schnitt von E_1 und E_2 liegen.

2. Schritt: Wir bilden das lineare Gleichungssystem aus den beiden Ebenen:

x+y-3z = 2 (Gleichung von E_1)

2x+y-6z = 2 (Gleichung von E_2)

Das hat die Lösung x = 3z, y = 2 wobei z ∈ |R hier die freie Variable ist. Also ist die Schnittgerade G gegeben durch den allgemeinen Vektoren

G: (x,y,z) = (3z, 2, z) = (0,2,0) + z (3, 0, 1), z ∈ |R.

3. Schritt: Wir schauen ob die Gerade G in einer beliebigen Ebene E_a aus der Schar liegt. Setze dafür x = 3z, y = 2 und z ∈ |R beliebig in die Gleichung von E_a ein. Du wirst rasch merken, das die Gleichung für jedes a ∈ |R erfüllt ist. Damit liegt die Gerade G aus dem 2. Schritt tatsächlich in jeder Ebene E_a der Schar.

Letzer Schritt: (Ebene bestimmen, die die Trägergerade enthält, aber nicht zur Schar dazugehört)

Um eine Ebene zu bestimmen, welche die Trägergerade G enthält, aber nicht zur Schar gehört, betrachtest du den Richtungsvektor der Geraden G. Dieser ist (3,0,1). Nun wählst du einen Vektor der linear unabhängig zu diesem ist, d.h. kein vielfaches davon.

Wir wählen z.B. (0,1,1). Dann bilden wir die Ebene mit den beiden linear unabhängigen Vektoren als Richtungsvektoren, also haben wir die Parameterform

E : (x,y,z) = (0,2,0) + t (3,0,1) + r (0,1,1), t,r ∈ |R. Die Koordintanform ist dann

E : -x -3y + 3z = -6. Diese Ebene ist nicht in der Schar, aber enthält die Trägergerade G, denn wenn du x = 3z, y = 2 und z ∈ |R beliebig einsetzt, ist die Gleichheit erfüllt.

So jetzt sind wir fertig :)

Comments

Hi, Dankeschön, hatte jetzt schon ein bisschen im Internet geschaut und bei jedem das mit 0 und 1 gemacht

Aber ich verstehe immernoch nicht den Schritt danach, also ich habe dann zwei Ergebnisse

z.B. für a.)

a=0 4y-2z=6 => 2y-z=3

a=1 2x+3y-2z=6

Stelle ich die dann gleich oder was mache ich

Und das wäre dann ja im Endeffekt das ich herausbekomme das 2x=y ist, und was mache ich dann?

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Habe jetzt eine Beispielrechnung von mir dazugefügt, an der du dich orientieren kannst. Schaue dir da die Schritte genau an. Falls du etwas nicht verstehst, frage gerne nach :)

Zu deiner Frage: Du bildest mit den Gleichungen der beiden Ebenen ein lineares Gleichungssystem, s.o. wie bei meinem Beispiel.

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Danke macht Sinn

Schönen Abend noch

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Gerne. Das ist eine Methode die du immer nutzen kannst bei solchen Aufgaben :)

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@Julianf.p.r

Hatte die letzte Sache mit der einen Ebene die du am Ende zusätzlich bestimmen solltest überlesen. Habe jetzt etwas dazugefügt. Das macht es aber nicht komplizierter. Der Ansatz ist da eigentlich recht einfach gehalten :)

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Okay Dankeschön, hatte ich einfach jetzt so versucht

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Gerne.

Es ist also nichts spektakuläres. Du ergänzt deine zuvor bestimmte Trägergerade nur zu einer Ebene mit einem weiteren Richtungsvektor (linear unabhängig zum anderen Richhtungsvektor) und das wars im Grossen und Ganzen auch.

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Zusammengefasst: Auch hier kannst du immer mit dieser Methode vorgehen. Du hast bereits die Trägergerade zuvor bestimmt und ergänzt sie im Prinzip mit einem weiteren Richtungsvektor zu einer Ebene. Dir ist natürlich die Trägergerde automatisch in der Ebene enthalten, aber diese Ebene gehört dann zugleich eben nicht zur Schar.

Das markierte ist so allgemein verkehrt. Nur ein spezieller Richtungsvektor bzw. vielfache davon führen zur gesuchten Ebene. Alle anderen nicht! Dass du den ganz zufällig triffst, ist also als wenn du eine Nadel im Heuhaufen findest.

Wenn du es also so machst, dann müsstest du schon sagen, wie genau du auf den Richtungsvektor kommst.

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Einen weiteren Richtungsvektor zu wählen bedeutet schon das der kein vielfaches von dem anderen sein darf. Sonst dürfte der gar nicht als weiterer Richtungsvektor bezeichnet werden!

Übrigens habe ich ja auch gesagt wie man auf einen weiteren Richtungsvektor kommt bei meiner Beispielrechnung. Man wählt einen Vektor der linear unabhängig zum anderen ist.

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Übrigens habe ich ja auch gesagt wie man auf einen weiteren Richtungsvektor kommt bei meiner Beispielrechnung. Man wählt einen Vektor der linear unabhängig zum anderen ist.

Dann mach es einmal vor und bestimme einen weiteren Richtungsvektor. Mit viel Glück findest du genau den richtigen.

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Wenn du es nicht machen möchtest dann vielleicht "Julianf.p.r.", der diese Aufgabe ja ohnehin lösen möchte.

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E : -x -3y + 3z = -6. Diese Ebene ist nicht in der Schar,

Ist äquivalent zu \(E_{\frac{1}{3}}:\ \frac{1}{3}x+y-z=2\) und somit sehr wohl in der Schar enthalten. Also wohl doch verkehrt, einfach irgendeinen linear unabhängigen Vektor zu nehmen.

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Dann korrigiere mich, was muss der Vektor noch erfüllen?

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Dann korrigiere mich, was muss der Vektor noch erfüllen?

Es darf kein Richtungsvektor sein, der in irgendeiner Ebene der Schar liegt.

Wie gesagt wäre das die Suche nach der Nadel im Heuhaufen, wenn du diesen durch wildes Probieren ermitteln möchtest.

Der Vektor [0, 1, 1] ist ein Richtungsvektor der Schar, weil
[0, 1, 1] * [a, 1, -3a] = 0 → a = 1/3
Dieser in der Ebene mit dem Parameterwert a = 1/3 liegt.

Du dürftest [0, 1, 0] als Richtungsvektor nehmen, weil
[0, 1, 0] * [a, 1, -3a] = 0
offensichtlich für kein a erfüllt sein kann.

Answer 2

So geht es vielleicht noch etwas einfacher und schneller

b) Ea: x + a·y + (5 - 2·a)·z = 0

Unterteile die Ebenengleichung in die Teile mit a und ohne a.

x + 5·z = 0
a·y - 2·a·z = 0·a

Löse beide Gleichungen in Abhängigkeit von z

x + 5·z = 0 --> x = -5·z
a·y - 2·a·z = 0·a --> y = 2·z

Damit ist die Lösung

[-5·z, 2·z, z] = z·[-5, 2, 1]

Du kannst statt z auch einen anderen Parameter wählen und du hast deine Geradengleichung in Parameterform.

g: X = r·[-5, 2, 1]

Mach die Probe, indem du die Gerade in die Ebene einsetzt

-5 + a·2 + (5 - 2·a)·1 = 0 → wahr

Damit enthält jede Ebene der Schar die Gerade.

Überlege dir jetzt mal, ob es eine Grenzebene gibt, wenn wir a gegen unendlich laufen lassen.

E: y - 2·z = 0

Diese Ebene enthält jetzt auch die Trägergerade, gehört aber selber nicht zur Ebenenschar.

Comments

Okay Dankeschön für deine Hilfe, ich Versuche Mal beide Methoden und schaue dann welche mir mehr liegt und welche mein Lehrer dann anschließend haben will

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Ist halt keine allgemeine und seriöse Methode solche Aufgaben zu lösen…

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Ist nur die andere Methode die ich benutzen sollte?

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Ist nur die andere Methode die ich benutzen sollte?

@Julian: Du kannst sie ruhig verwenden, aber vielleicht ist es besser, den Ansatz etwas zu variieren.

Stelle die Ebenengleichung so um, dass der Parameter \(a\) isoliert steht - also konkret$$\begin{aligned} x + a·y + (5 - 2·a)·z &= 0 \\ \underbrace{(y-2z)}_{=0}a + x + 5z &= 0\end{aligned}$$ Wenn man nun die Tripel \((x,y,z)\) so einschränkt, dass der Faktor \((y-2z)\) vor dem \(a\) zu \(0\) wird, dann bleibt am Ende die Gerade übrig, die alle Ebenen der Schar gemeinsam haben. Denn für diese Tripel ist der Wert von \(a\) irrelevant, aber sie erfüllen immer noch die Ebenengleichung.

Der eigentliche Rechenweg ist dann identisch mit dem vom Mathecoach beschriebenen.

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bleibt am Ende die Gerade übrig

Genauer : Es ist der Schnitt der zwei Ebenen mit den Gleichungen y-2z=0 und x+5z=0

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@DerMathecoach

Danke für die Anmerkung. Habe jetzt etwas dazugefügt. Jedoch muss ich leider @TanjaTahl Recht geben, das dein Ansatz vielleicht eher nicht den Anforderungen eines Schülers entspricht.

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Man könnte den Ansatz variieren, wenn das einem leichter erscheint. Ich bezweifel das es effektiv dadurch einfacher wird.

c) Ea: 2·a·x + 2·y + (2 - a)·z = 5·a + 2

Nach Trennung in mit a und ohne a erhalten wir die Gleichungen

2·y + 2·z = 2
2·a·x - a·z = 5·a

Erste Gleichung nach y und zweite Gleichung nach x auflösen

2·y + 2·z = 2 --> y = 1 - z
2·a·x - a·z = 5·a --> x = 0.5·z + 2.5

Damit lautet die Trägergerade

g: X = [0.5·r + 2.5, 1 - r, r] = [2.5, 1, 0] + r·[0.5, -1, 1]

Hier könnte man jetzt die Gerade noch kosmetisch etwas aufpolieren. Auch das ist aber nicht nötig.

g: X = [0.5·r + 2.5, 1 - r, r] = [3, 0, 1] + r·[1, -2, 2]

Und die Ebene, die auch die Trägergerade enthält, aber selber nicht zur Schar gehört ist

F: 2·x - z = 5