Hallo LIsa,
in der Ebenenschar liegen alle Ebenen parallel zueinander, da der Normalenvektor \(n\) unabhängig vom Parameter \(a\) ist.
$$E: \, 2x + 2y +z = 2a +4 \quad \rightarrow n = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Um eine Ebene zu finden, die senkrecht auf der Ebeneschar steht, benötigt man nur einen Vektor \(n_2\), der senkrecht auf \(n\) steht. Dazu setze eine Koordinate zu 0, vertausche die beiden anderen und negiere eine - also z.B.:
$$n_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$$
\(n_2\) steht senkrecht auf \(n\), da das Skalarprodukt \(n \cdot n_2 = 0\) ist. Die Ebene\(E_2\) lautet dann: $$E_2: \, \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 0 \quad \text{bzw.:} \quad 2x - 2y = 0$$
Die 0 auf der rechten Seite macht daraus eine Ebene durch den Ursprung, da dann der Punkt \(O = \begin{pmatrix} 0& 0& 0 \end{pmatrix}^T\) ein Punkt in der Ebene ist.
Die nächste Ebene \(E_3\), die senkrecht auf beiden steht, bekommt man über das Kreuzprodukt. $$E_3: \, (n \times n_2) \cdot \vec{x} = 0$$ Also: $$E_3: \, \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -8 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 0 \quad \text{bzw.:} \quad 2x + 2y - 8z = 0$$ (könnte man natürlich noch durch 2 dividieren! Genau so bei \(E_2\))
Gruß Werner
