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zu b) Aus der Koordinatengleichung der Ebene$$E_b\colon\;(b+1)x_1+2x_2+(3-2b)x_3=(b+2)$$kannst du den Normalenvektor \(\vec n\) ablesen, der auf der Ebene senkrecht steht:$$\vec n=\begin{pmatrix}b+1\\2\\3-2b\end{pmatrix}$$Die Ebene verläuft parallel zur \(x_3\)-Achse, wenn der Vektor \(\vec n\) senkrecht auf der \(x_3\)-Achse steht:$$0\stackrel!=\begin{pmatrix}b+1\\2\\3-2b\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=3-2b\quad\implies\quad b=\frac32$$
zu c) Nun soll die Ebene senkrecht auf der Ursprungsgerade durch den Punkt \(A(1|4|-1)\) stehen. Daher müssen der Normalenvektor \(\vec n\) und der Richtungsvektor \(\vec r=(1;4;-1)^T\) der Geraden parallel sein:$$\alpha\vec n=\vec r\implies\alpha\begin{pmatrix}b+1\\2\\3-2b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\-1\end{pmatrix}\stackrel{(\alpha=2)}{\implies}\begin{pmatrix}2b+2\\4\\6-4b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\-1\end{pmatrix}$$Aus der zweiten Koordinantengleichung entnehmen wir \(\alpha=2\). Nun gibt es aber kein \(b\in\mathbb R\), das sowohl die erste als auch die dritte Koordinatengleichung erfüllt. Es gibt also keine Ebene, die senkrecht zu der Urpsrungsgeraden durch \(A(1|4|-1)\) steht.
