Länge einer Bernoulli-Kette (n=?)

Question

Aufgabe:

Ein Zahnarzt weiß, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Patienten Karies zu diagnostizieren, etwa bei 80% liegt. Wie viele Karteikarten muss man der Patientenkartei zufällig entnehmen, wenn dabei mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% drei oder mehr Patienten mit Kariesbefund sein sollen?

X = Anzahl von Karies-Patienten,  p = 0.8,  k ≥ 3,  P ≥ 0,95;  gesucht: n

Problem:

P(x≥ 3) ≥ 0,95

Ich habe heute gefehlt und muss das jetzt nacharbeiten. Ich verstehe jedoch nicht wie ich vorgehen soll. Kann mir jemand helfen?

Answer 1

Wenn du die entsprechenden Befehle für deinen Taschenrechner kennst, setze den Ansatz ein. Bei derartigen Aufgaben versucht man, den Wert durch Ausprobieren zu finden. Teste also verschiedene Werte für \(n\) mit dem passenden TR-Befehl (binomcdf oder ähnlich).

Ohne TR bietet sich der Ansatz über das Gegenereignis an, also \(P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\leq 0,05\). Schreibe die einzelnen Ausdrücke jetzt aus. Ich denke nicht, dass ihr das ohne Taschenrechner machen müsst. Für \(k\geq 1\) vielleicht, aber nicht für \(k\geq 3\). Ansonsten gilt auch da: Ausprobieren, dann eben ohne TR!

Comments

Wir müssen es aber ohne Taschenrechner rechnen können

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Das denke ich nicht. Habe meine Antwort aber angepasst.

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Wir müssen es aber ohne Taschenrechner rechnen können

Das glaube ich nicht.

Es sei denn, ihr nähert die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung an und habt die Tabelle der Standardnormalverteilung als Hilfsmittel.

Trifft diese Annahme zu?

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Tatsächlich haben wir bisher immer nur für k≥1 gerechnet. Aber da ich heute gefehlt habe, dachte ich, dass wir das auch berechnen müssen. Mit dem Taschenrechner weiß ich tatsächlich wie es geht!

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Na dann ist ja gut. Bei \(k\geq 1\) gehts ja einfach über \(P(X=0)=(1-p)^n\).

Answer 2

Wenn die Wahrscheinlichkeit des Findens von 3 oder mehr Kariespatienten mindestens 0,95 sein soll, dann darf die Wahrscheinlichkeit, nur 0 bis 2 Kariespatienten zu finden, höchstens 0,05 sein.

Zu lösen ist also die Ungleichung

\(0,2^n +  \begin{pmatrix}n\\1 \end{pmatrix} \cdot 0,2^{n-1}\cdot 0,8 + \begin{pmatrix}n\\2 \end{pmatrix} \cdot 0,2^{n-2}\cdot 0,8^2 \le 0,05 \).

Probiere den Term der linken Seite für verschiedene n, bis du erstmals auf oder unter 0,05 kommst.