Gauß Eliminierung Verfahren

Question

Aufgabe:

Löse des Gleichungssystem mit dem Gauß Eliminierung Verfahren.

a+ 2b -c - 4d =-8

2a - b+c -2d = -6

-a +b+c+2d = 5

3a -2b + c + d = 3

Problem/Ansatz:

Ich kriege führ c immer den Wert -1 aus, kann diesen aber nicht begründen. Dabei bräuchte ich Hilfe oder einen anderen Ansatz.

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \frac{8}{5} c+553 \\ 9+3 \\ \frac{9}{5}=-1 \\ -5 b+3 \cdot(-1)+b \cdot 5=10 \\ b=2 \\ a+2 \cdot 2-(-1)-4+5=-8 \\ a=1 \\ a=1 \\ b=2 \\ c=(-5) \\ d=5 \end{array} \)

Hier ist c aber nicht -1

Comments

Hier eine Seite zur Kontrolle:

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm

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Besser is

https://matrixcalc.org/de/slu.html

Answer 1

a + 2·b - c - 4·d = -8
2·a - b + c - 2·d = -6
-a + b + c + 2·d = 5
3·a - 2·b + c + d = 3

Zunächst c eliminieren, indem man die erste Gleichung zu den folgenden addiert.

3·a + b - 6·d = -14
3·b - 2·d = -3
4·a - 3·d = -5

Jetzt b eliminieren: II - 3·I

- 9·a + 16·d = 39
4·a - 3·d = -5

Jetzt a eliminieren: 9·II + 4·I

37·d = 111 --> d = 3

Jetzt rückwärts einsetzen

4·a - 3·(3) = -5 --> a = 1

3·b - 2·(3) = -3 --> b = 1

-(1) + (1) + c + 2·(3) = 5 --> c = -1

PS: Benutze Gleichungen schreibe ich nicht mehr mit auf, statt sie bis zum bitteren Ende unverändert mitzuschreiben.

Answer 2

Hallo.

Hier ist nochmal eine allgemeine Vorgehensweise für solche Fälle.

Du hast ein lineares Gleichungssystem Ax = b, wobei hier A ∈ M(|R,4x4) die Matrix der Koeffizienten, der Vektor x = (a,b,c,d)^T ∈ |R^4 der Vektor mit den Unbekannten und b = (-8,-6,5,3)^T ∈ |R^4 ist. Hierbei ist A eine quadratische (4x4)-Matrix, welche auch regulär ist (det(A) ≠ 0). Du kannst also auf beiden Seiten das Inverse von A rechts daran multiplizieren. Es gilt also:

Ax = b => A^(-1)Ax = A^(-1)b => x = A^(-1)b. Die Lösung x ist also das Matrix-Vektor-Produkt der Inversen Matrix A^(-1) ∈ M(|R,4x4) von A mit dem Vektor b. Da fehlt jetzt nur noch das Inverse A^(-1) zu bestimmen, was aber deutlich simpler ist. Da kannst du nämlich das Gauss-Jordan-Verfahren nutzen, wo du hier zumindest nicht mit unschönen Zahlen rechnen musst, als wenn du das LGS direkt löst.

Comments

Abgesehen von der doppelten Verwendung von b ist das Unsinn, denn das Lösen eines LGS über die Inverse ist erheblich aufwendiger als direktes Lösen über Gauß. Lernt man relativ zu Anfang schon im Studium.

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Ich habe beides hier als Probe gemacht und fand es hier deutlich leichter, denn der Vektor b stört sonst echt.

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Ohne den Vektor b wirst Du kaum auskommen. Und beachte zum Aufwand Deine Vorlesungsunterlagen.

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Ahja. Und eine gesamte Matrix derselben Dimension auf der anderen Seite ist angenehmer? Sehr witzig.

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Es ist schon ein Unterschied eine Matrix auf der anderen Seite zu haben :)

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Ja und damit ist es wesentlich aufwändiger zu rechnen als wenn dort nur ein Vektor steht.

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Überzeuge uns gerne das es deutlich einfacher ist und rechne es vor.

Ich wäre gespannt, ob du den Aufwand (meiner Lösung), mit der Berechnung über eine Inverse, unterbieten kannst.

Vielleicht rechne ich dann demnächst auch nur noch mit der Inversen.

PS: Wenn man die Inverse einer Matrix mit Rechnereinsatz bestimmen darf, dann kann man das Gleichungssystem deutlich einfacher über eine Inverse lösen. Allerdings ist dann vermutlich auch das direkte Lösen des LGS über Rechnereinsatz erlaubt.

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Erstens sagte ich nicht, das es allgemein besser ist ein LGS mit der Inversen zu lösen (geht ja nicht einmal immer). Ich löse selber LGS zu 80 Prozent wir gewöhnt. Ich habe es hier nur ausprobiert mit beiden Methoden und fand es hier leichter es anders zu machen. Zweitens kann ich gerne meine Lösung hochladen, aber nicht das ich dann wieder derjenige bin, der hier alles vorgibt…

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Ich habe beides hier als Probe gemacht und fand es hier deutlich leichter, denn der Vektor b stört sonst echt.

Ein Vektor mit 4 Einträgen stört, eine Matrix mit 12 Einträgen nicht? Die Logik verstehe ich halt nicht.

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Wenn man das LGS löst, so rechnet man ja auch stupide mit der Matrix herum. Es macht also keinen grossen Unteschied, ausser das man beim direkten Lösen des LGS diesen hässlichen Vektor b dabei hat und bei Elementarumformungen diesen mit berücksichtigen muss. Das muss man bei den Gauss-Jordan-Verfahren nicht. Da hast du die schöne einfache Einheitsmatrix.

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Ich habe es hier nur ausprobiert mit beiden Methoden und fand es hier leichter es anders zu machen.

Ich denke, alle Mathematiker sind daran interessiert, wie man Dinge möglichst schnell und einfach berechnen kann.

Da die Aufgabe war, es über das "Gauß-Verfahren" zu lösen, kannst du daher gerne deinen Weg vormachen.

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Ja, aber ein Mathematiker ist auch daran interessiert mehrere Methoden für die Lösung zu erlernen. Das lineare Gleichungssystem mit Gauss zu lösen, sollte mitlerweile die ganze Welt kennen. Es ist natürlich immernoch allgemein die ,,Beste‘‘ bzw. die gängigste Methode und auch schnellste, aber ab und zu kann man es ja auch mal anders machen und neues lernen. Meine Methode sollte dem FS eine Alternative bieten solche LGS zu lösen. Übrigens ist meine Methode hier auch multifunktionaler, da der FS zugleich das Invertieren von Matrizen erlernt, was er später häufiger brauchen wird. Beispielsweise wenn er Matrizen diagonalisieren / ,,jordanisieren‘‘ möchte.

Natürlich hast du Recht, das es jetzt hier nicht der Kernpunkt seiner Erwartung war, aber deswegen hat er ja auch schon die Kernlösung von dir und kriegt eben von mir eine Alternative für allgemeine Zwecke.

Zu meiner Lösung: Ich habe die Aufgabe gelöst, doch werde ich meine Lösung hier nicht hochladen, da ich es dafür nochmal neu schreiben müsste, was ich nicht möchte. Ich finde das ist auch die perfekte Gelegenheit, das der FS jetzt neue Methoden für seine allgemeine mathematische Bildung ausprobiert und erlernt! :)

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Übrigens ist meine Methode hier auch multifunktionaler, da der FS zugleich das Invertieren von Matrizen erlernt, was er später häufiger brauchen wird. Beispielsweise wenn er Matrizen diagonalisieren / ,,jordanisieren‘‘ möchte.

Du solltest damit aufhören, jedem zu unterstellen, ein Mathematik-Student zu sein. Es ist doch überhaupt nicht klar, ob der FS das jemals brauchen wird oder nicht. Dasselbe gilt auch für das immer wieder nicht angepasste Niveau der Antworten an das Niveau des FS.

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Ich denke Matrix-Inversion sollten auch Nicht-Mathematiker können. Übrigens bin ich davon fest überzeugt, das wenn man erwartet das der FS solche LGS lösen soll, das dann eben auch der Rest noch kommen wird.

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Das gehört nicht zwangsläufig zum Lehrplan der Schulmathematik. Muss also nicht kommen und muss man daher auch nicht notwendigerweise können. Außerdem hattest du ja noch andere Beispiele genannt.

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Ja, da hast du Recht. An die ,,Mathematik‘‘ der Schule habe ich natürlich nicht gedacht. Dann hat der FS schon mal eine Vorgehensweise für das erste Semester seines Studiums, was ja nicht unbedingt Mathematik sein muss :)

Ich denke du meinst mit den anderen Beispielen: Matriz-Diagonalisierung und co. Das machen ja auch eher die Nicht-Mathematiker mehr, da es ja auch mehr rechnen als verstehen ist.

Answer 3

Die Lösung des Systems ist \(a=b=1\), \(c=-1\) und \(d=3\). Also stimmt es schon, dass \(c=-1\) ist. Allerdings ist von deinen Notizen so gut wie gar nichts lesbar.

Wie sieht deine Zeilenstufenform aus? Einen Fehler kann man mit unvollständiger Rechnung nicht gut finden.

Comments

Text erkannt:

II \( \left(\begin{array}{cccc|c}1 & 2 & -1 & -4 & -8 \\ 0 & -5 & 3 & 6 & 10 \\ -1 & 1 & 1 & 2 & 5 \\ 3 & -2 & 1 & 1 & 3\end{array}\right) \)
\( \left(\begin{array}{cccc|c}1 & 2 & -1 & -4 & -8 \\ 0 & -5 & 3 & 6 & 10 \\ 0 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & -8 & 4 & 13 & 27\end{array}\right) \pi+\frac{3}{5}=\pi \)

Hier ist mein Ansatz . Ich hoffe der ist besser fotografiert.

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Das würde ich nochmal neu rechnen. Ich habe jetzt nicht explizit nach Fehlern gesucht, aber bitte keine Divisionen während der Umformung durchführen. Wenn man sich da Brüche einschleust, wird das nur fehleranfälliger.

Multipliziere also bspw. die dritte Zeile mit 5 und die zweite Zeile mit 3. Das hat denselben Effekt, aber du hast keine Brüche.

Außerdem ist das nicht die vollständige Stufenform.

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Danke für die Hilfe. Ich hab es nach ein wenig ausprobieren mit einem anderen Lösungsweg hinbekommen

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Das freut mich. Wie gesagt, beherzige meinen Tipp und vermeide Divisionen, die nicht ganz aufgehen :)