Wie lautet eine zu bestimmende Funktion y(x) = f(x)-g(x) = g(x)-h(x)?

Question

Aufgabe:

Bestimmung einer kubischen Funktion y(x)

Problem/Ansatz:

Hallo liebe Mathefreunde,

es wäre sehr schön, wenn jemand Zeit und Lust hätte, folgende Aufgabe zu lösen:

folgendes Bild zeigt 3 kubische Funktionen und jeweils deren Tangente an der Stelle 5,6

folgende Bedingungen sind vorhanden:

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} f(0)-g(0)=f(2,8)-g(2,8)=f(5,6)-g(5,6)=a \\ g(0)-h(0)=g(2,8)-h(2,8)=g(5,6)-h(5,6)=a \end{array} \)

Steigung der Sekante \( (f(0), f(5,6))=f^{\prime}(5,6)=2 a \)
\( \begin{array}{l} g^{\prime}(5,6)=a \\ h^{\prime}(5,6)=0 \\ g(0)=1159,2 \\ g(2,8)=51772 / 3 \\ g(5,6)=73724 / 3 \end{array} \)

Wie lautet eine zu bestimmende Funktion y(x) = f(x)-g(x) = g(x)-h(x) ?

Vielen Dank im voraus

mit freundlichen Grüßen aus Wesertal

Martin Hümer

Comments

Woher hast du diese Aufgabe? Die ist echt sehr aussergewöhnlich. Vorallem verstehe ich auch nicht was die Gleichheit (f(0),f(5.6)) = f‘(5.6) sein soll… Ein Tupel aus zwei Zahlen soll gleich einer Zahl sein!!??

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Hallo Txman,

vielen Dank für Deinen Kommentar.

Die lineare Funktion, hier mit i markiert (schwarzer Graph) ist die Sekante zwischen den Stellen 0 und 5,6 der kubischen Funktion f(x) (anderer ebenfalls schwarzer Graph).

Die Steigung dieser Sekante ist gleich der Steigung der Tangente an der Stelle 5,6 ( und entspricht ja dem Wert der 1. Ableitung an der Stelle 5,6).

okay ?

Die Aufgabe ist von mir selber. Es freut mich sehr, dass Du sie außergewöhnlich findest,

Vielen Dank

gute Nacht

Martin Hümer

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Wenn es deine Aufgabe ist, so musst du ja auch eine Lösung dafür haben…

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Hallo Txman,

Ja, schon. ich hatte über ein Gleichungssystem ein Ergebnis gefunden und eigentlich gehofft, dass jemand auf einem anderen, vielleicht einfacherem ? Lösungsweg dieses bestätigt.

Trotzdem aber vielen Dank für Deine Antworten.

mit freundlichen Grüßen

Martin Hümer

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Die meisten mathematischen Probleme basieren auf der Lösung einer Gleichung oder eines Gleichungssystems.

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Hallo an Alle,

vielleicht noch ein Nachtrag.

ICH habe zwar die Lösung, aber ich dachte dabei an die Mathefreunde, die gerne für SICH SELBER Rätsel lösen.

mit freundlichen Grüßen

Martin Hümer

Answer 1

Hallo Martin,

ich weiß nicht so recht, was ich zu der Aufgabe sagen soll . Du hast Dir sicher viel Mühe gegeben.

Die Aufgabenstellung ist sehr verklausuliert gegeben, ich nehme mal an, nicht absichtlich um den Leser zu verwirren .

Der Kern der Aufgabe läßt sich auch viel einfacher formulieren:

Gesucht ist ein Polynom dritten Grades y(x) mit den Eigenschaften y(0) = y(2,8) = y(5,6) = a und y‘(5,6) = a

Ein Polynom dritten Grades hat 4 zu bestimmende Koeffizienten, wir haben 4 Bedingungen, also kann man nun das Gleichungssystem (in Abhängigkeit von a) lösen.

Bis hierhin ist alles eine (recht langweilige) Standard Aufgabe.

Um die Aufgabe allgemein zu lösen, benötigen wir also weder f, g oder h noch i, j oder k. Das Diagramm ist ebenso überflüssig.

Nur zur Bestimmung von a wird jetzt all das andere drumherum benötigt. Das geht z.B. über Ausrechnen von f(0) mittels der Tangente an g unter Verwendung von g(0) und g(5,6). Das ist aber für meinen Geschmack ziemlich viel Verbrämung, nur um eine weitere Bedingung zu erzeugen.

Wenn man also nun wirklich konkret rechnen will, bestimmt man also erst a mit der Tangente an g, danach die Koffizienten von y mit den 4 Gleichungen oben.

f, g und h lassen sich dann auch bestimmen, wenn man denn unbedingt möchte.

Es tut mir leid Martin, aber ich kann dieser Aufgabe nicht viel abgewinnen, sorry.

Comments

Bevor die Rapid WM gleich weitergeht, habe ich gerade noch ein paar Minuten gefunden, um die Koeffizienten und auch f,g und h zu berechnen. Die Lösung L lautet:

$$y = \frac{400}{3}x^{3}-1120x^{2}+\frac{6272}{3}x+\frac{6272}{3}$$

Was fandest Du an der Aufgabe denn eigentlich so spannend, dass Du sie hier gestellt hast?

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Nachtrag: da die Funktion an drei Stellen denselben Funktionswert hat, könnte man die Lösung auch über die Nullstellen der Funktion L-a berechnen.

Damit also L= 400/3* x(x-2.8)(x-5.6) + 6272/3

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Hallo Jumanji,

vielen Dank für Deine Bemühung. Entschuldige bitte, dass Dich die Aufgabenstellung verwirrt hat. Das sollte eigentlich nicht sein. Leider ist bei mir auch die Parabel nicht gut zu erkennen. Da hätte ich den Bereich noch erweitern müssen.

der Sinn:

1.) Wenn Du noch Lust hast, kannst Du Dir ja noch einmal von y die Tangenten an 0 und an 5.6 ansehen. Dann y integrieren und wiederum die Sekante = Tangente an den Stellen 0 und 5.6 ansehen. Ist jedesmal die identische Steigung 6272/3.

2.) Ich habe insgesamt ein Gleichungssystem mit 26 Gleichungen, aber mit nur einer Konstanten darin erstellt. Diese Aufgabe hier ist nur eine von vielen Anderen, die ich hier auch schon vorgestellt habe. In Wirklichkeit sind für g überhaupt keine Werte vorhanden. Diese werden erst durch die anderen Teile berechnet, aber für diese Teilaufgabe musste ich sie ja dafür vorher definieren. Angefangen mit einer linearen Funktion, die integriert wird und 4 verschiedene C´ hat (also 4 parallel verlaufende quadratische Funktionen.) Jede quadratische Funktion wird ebenfalls wieder integriert und alle 4 kubischen Funktionen haben ein gemeinsames C. Dann gibt es noch 6 quartische Funktionen (das Integral von y ist nur Eine davon), die alle jeweils an den Stellen 0 und 5.6 eine Sekante = Tangente haben.

mit freundlichen Grüßen

Martin Hümer

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Nein danke :-) kein Interesse.

Zu 1) das ist zu erwarten, so wie die Funktionen gegeben sind.

Zu 2) Der einfachste Weg, um die Aufgabe zu lösen, ist wie im Nachtrag geschrieben, der Weg über die Nullstellen der um a verschobenen Funktion y. Diese hat an den Stellen x= 0, 2,8 und 5,6 Nullstellen und kann somit dargestellt werden als:

y-a = k x (x-2,8)(x-5,6)

mit einem zu bestimmenden Faktor k.

Damit muß man nur 2 Parameter statt 5 bestimmen. a geht über die Tangenten und k geht über die Ableitung. Das scheint mir der eleganteste Weg zu sein.