Muss ich jetzt mit der Polynomdivison die anderen Nullstellen berechnen oder gibt es eine andere Methode, man sieht, …

Question

Nullstellen der Ableitung finden

f'(x) = 6x^5 +8x^3 + 6x^2

Ausklammern = x^2 * (6x^3 +8x + 6)

Muss ich jetzt mit der Polynomdivison die anderen Nullstellen berechnen oder gibt es eine andere Methode, man sieht, dann ich alles in der klammer mit 2 Kürzen kann aber bringt mir das was?

Bitte keine Lösung sondern nur dem Ansatz

Comments

Und wie lautet die Aufgabe, im Original bitte?
Ziemlich sicher lautet sie nicht "bestimmen Sie die Nullstellen der Ableitung".

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Lautet sie auch nicht, aber meine Frage ist wie ich NS in der Klammer berechne

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aber meine Frage ist wie ich NS in der Klammer berechne

Die wurde doch schon zweifach beantwortet. Es kommt keine ganze Zahl dabei raus.

Die Teiler von 6 sind: +-1, +-2, +-3, +-6 Das hilft hier nicht weiter.

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bringt mir das was?

Ja, es bringt etwas, und ich erläutere etwas weiter unten, was das ist.

Zunächst :  mit der Polynomdivison die anderen Nullstellen berechnen funktioniert grundsätzlich nicht, Polynomdivision ist nämlich kein Verfahren zur Nullstellenberechnung sondern erlaubt es, einen Linearfaktor x-x₀ aus einem Polynom abzuspalten, also ein Polynom f in die Faktoren f(x) = ( x-x₀)*g(x) zu zerlegen, wenn bereits vorher bekannt ist, dass x₀ eine Nullstelle von f ist, die wird man im Allgemeinen raten müssen.
Diese Raterei kann aber etwas systematisch erfolgen, denn für ein Polynom f(x) = a_n*x^n + ... + a₀ mit ganzzahligen Koeffizienten a_n ... a₀ kann x₀ = p/q nur dann eine rationale Nullstelle sein, wenn p ein Teiler von a₀ und q ein Teiler von a_n ist. Und hier macht sich ein "gekürztes" (ich weiß, was du gemeint hast) Polynom besser, weil dann die Anzahl der Teiler geringer wird.
Für das Polynom (ich nenne es mal wieder f) f(x) = 3x^3+4x+3 kommen als rationale Nullstellen also nur ±3 , ±1 , ±1/3 in Frage (und nicht mehr 2/3 wie im ungekürzten Fall).
Wegen f(-1) = -3-4+3 < 0 und f(0) = 3 > 0 liegt eine Nullstelle zwischen -1 und 0, wenn sie rational ist kommt nur -1/3 in Frage. Allerdings ist f(-1/3) ≠ 0. Die wirkliche Nullstelle zu raten ist hoffnungslos. Also lässt sich mit Polynomdivision jetzt auch nicht das quadratische Polynom g bestimmen, das dann mit der pq-Formel weiter untersucht werden könnte.

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@hj2166 Wie würdest du das Monotnieverhalten bestimmen der Ursprungsfunktion?

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1. Ich hatte mir den Funktionsplot angesehen und daraus entnommen, dass die Klammer nur eine Nullstelle (bei etwa -0,6) hat und deshalb nur den Fall -1/3 weiter verfolgt. Das beweist nicht, dass einer der anderen Kandidaten nicht eventuell doch eine rationale Nullstelle sein könnte, also durch Einsetzen überprüfen.

2. Das Steigungsverhalten der Ausgangsfunktion F(x) = x^6+2x^4+2x^3 wird man natürlich mit der Ableitung untersuchen und hier feststellen, dass F für x-Werte < -0,6 fällt und danach monoton steigt mit einem Sattelpunkt (wegen der doppelten Nullstelle von F') bei x=0.
Mehr könnte ich bei angemessenem Zeitaufwand dazu nicht sagen.

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Wenn Du die Intervalle wissen willst, auf denen f monoton ist, brauchst Du die unbekannte (bzw. nur näherungsweise bekannte) Nullstelle. Auch das wird nicht die Originalaufgabe sein. Worum geht es denn hier wirklich?

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Entscheiden Sie welche Aussage wahr ist über den Graphen Gf in ganz R

x^6 + 2x^4 + 3x^2 ist streng monoton steigend und rechtsgekrümmt in [0:5]

Aber ich sehe gerade habe falsch abgeleitet

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Du wolltest es uns wohl einfacher machen und hast uns stattdessen unnötige Mehrarbeit gemacht, gratuliere ;-)

Bitte jedesmal die Aufgabenstellung im Original mitliefern.

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siehe Antwort unten

Answer 1

Die Nullstellen der Klammer bekommst du nicht mit Polynomdivision.

Entweder mit der Cardano-Formel, oder - wenn ihr das nicht hattet - näherungsweise

etwa mit Newtonverfahren oder so.

Answer 2

1. Näherungsverfahren (Newton)

2. graphische Lösung

3. Cardanoformel: https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/cardanische-formel#

Da es keine ganzzahligen Nullstellen gibt, klappt die Polynomdivision hier nicht.

Comments

Da es keine ganzzahligen Nullstellen gibt, klappt die Polynomdivision hier nicht

An was kann man das feststellen bzw. woher weiß man sowas schon im vornherein?

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Da es keine ganzzahligen Nullstellen gibt, klappt die Polynomdivision hier nicht.

Das stimmt so nicht.

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Das stimmt so nicht.

Inwiefern? Wie lautet es richtig?

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Ist oben im sehr schönen Kommentar von @Gast hj2166 alles erklärt.

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@n: Stimmt, soviel Zeit habe ich nicht investiert!

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@nudger kannst du bitte noch sagen wie man das Monotonieverhalten bestimmt von der Ursprungsfunktion ohne Ableitung?

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Monotonieverhalten = Steigungsverhalten. Ohne Ableitung geht es also nicht.

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Monotonieverhalten = Steigungsverhalten. Ohne Ableitung geht es also nicht.

Das ist so nicht richtig, da Differenzierbarkeit keine Voraussetzung für das Monotonieverhalten ist.

(Abgesehen davon finde ich Diskussionen über mangelhaft wiedergegebene Aufgaben irgendwie unsinnig...)

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Im Allgemeinen nicht, ja. Da es hier aber um ganzrationale Funktionen geht, passt das schon. Das hätte ich dazuschreiben sollen.

Answer 3

Nach Korrektur der Ableitung wirst Du sicherlich leicht feststellen, dass f zwar auf [0,5] st. mon. steigend ist, aber linksgekrümmt.

Comments

Kannst du mir sagen wo der Fehler ist, ich habe die erste Ableitung gebildet und dann die Nullstelle berechnet und bin nur auf eine gekommen bei x=0 bei der Lösungsformel kommt Error raus.

Wenn ich jetzt mit der Vorzeichentabelle -1 und 1 in die Funktion einsetze kommt das die Funktion auf ganz R SMS ist aber Matheway sagt was anderes?

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Hast du Klammern richtig gesetzt? Es ist \(f'(-1)<0\). Außerdem kann man sich hier eine Rechnung sparen, dann die Ableitung ist punktsymmetrisch zum Ursprung, also gilt \(f'(-1)=-f'(1)\).

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Aber das die Abgeleitete Funktion nur eine NS hat ist korrekt oder?

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Ja, ist korrekt.

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Du hast (hoffentlich) \(f''(x) = 30x^4 + 24x^2 + 6\). Ausklammern muss man hier nichts. Aber man sollte stets im Kopf haben, dass Potenzen mit geradem Exponenten stets \(\ge 0\) sind. Damit ist \(f''(x)\ge 0\) für alle \(x\).

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Damit ist \(f''(x)\ge 0\) für alle \(x\).

Somit ist die Funktion auf ganz ℝ linksgekrümmt?

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Statt \(f''(x) \ge 0\) muss es \(f''(x) \gt 0\) heißen.

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Ja, plotte sie dochmal - dafür ist Software gut. Dann solltest Du auch am Graphen sehen.

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@ Gast az0815 Danke für den Hinweis

Ja, arbeite besser mit \(>0\)  (im Falle \(\ge 0\) könnte der Graph Geradenstücke enthalten, die nicht als gekrümmt angesehen werden).

Answer 4

f(x) = x^6 + 2·x^4 + 3·x^2
f'(x) = 6·x^5 + 8·x^3 + 6·x
f''(x) = 30·x^4 + 24·x^2 + 6

Entscheiden Sie welche Aussage wahr ist über den Graphen Gf in ganz R

f ist streng monoton steigend und rechtsgekrümmt in [0:5]

6·x^5 + 8·x^3 + 6·x = 2·x·(3·x^4 + 4·x^2 + 3) ≥ 0 in [0:5] → streng monoton steigend

30·x^4 + 24·x^2 + 6 = 6·(5·x^4 + 4·x^2 + 1) > 0 in [0:5] → linksgekrümmt

Die gegebene Aussage ist daher falsch.

Comments

x^6+ 2x^4 + 3x^2 ist streng monoton steigend und rechtsgekrümmt in [0:5]

Wie kann ich die Krümmung berechnen, ich habe die 2 Ableitung gebildet dann Substizuiert dann kommt Error raus bei der Lösungsformel?

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Hat das Vorrechnen nichts geholfen? Du brauchst hier keine Lösungsformel (verwende sowieso keine Formel, die Du nicht verstanden hast), es geht darum ob \(f''(x)\ge 0\) ist oder nicht.

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Hat das Vorrechnen nichts geholfen

Nein.

30·x^4 + 24·x^2 + 6 = 6·(5·x^4 + 4·x^2 + 1) > 0 in [0:5] → linksgekrümmt

Woher weiß du, dass in diesem Intervall > 0 ist hast du die Zahlen alle eingesetzt und warum hast du auf ein mal ausgeklammert, was bringt mir das?

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Wie kann ich die Krümmung berechnen, ich habe die 2 Ableitung gebildet dann Substizuiert dann kommt Error raus bei der Lösungsformel?

Das ist ein Zeichen das es keine Nullstellen gibt. Wenn du also in die zweite Ableitung 0 einsetzt, kommt 6 heraus und damit kommt immer ein positiver wert in der zweiten Ableitung heraus. Und das bedeutet, dass der Graph im gesamten Definitionsbereich linksgekrümmt ist.

Wenn du dir den Term 30·x^4 + 24·x^2 + 6 näher ansiehst, dann erkennst du auch, dass alle Summanden nie negativ sein können und damit muss die Summe immer positiv sein.

Das hättest du hier also auch ohne Formel sehen können. Du brauchst dabei nicht ausklammern. Das hat mein Programm nur automatisch gemacht.