Bestimme a mithilfe Hochpunkt bei x=3

Question

Aufgabe:

Die Parabel p: y = x(x-a)^2 mit a>0 ist gegeben. Bestimme a so, dass …

b) die Parabel einen Hochpunkt bei x=3 besitzt

Problem/Ansatz:

Nullstellen bei 0 und A

p:y= x(x^2 - 2ax + a^2)

Doch wie gehe ich nun weiter, wie finde ich a heraus?

Comments

Zur Kontrolle:

x= 9 v x= 3

x*(x-a)^2 ist keine Parabel !

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x= 9 v x= 3

Du sollst dem Fragesteller nicht einen Tief- für einen Hochpunkt vormachen wollen.

x*(x-a)² ist keine Parabel !

siehe dazu

https://de.wikipedia.org/wiki/Parabel_(Mathematik)#Parabel_höherer_Ordnung

oder https://mathworld.wolfram.com/CubicalParabola.html

Answer 1

Hallo,

\(f_a(x)=x\cdot(x-a)^2=x^3-2ax^2+a^2x\)

Bilde die 1. Ableitung, setze sie = 0 und 3 für x ein.

Dann kannst du beispielsweise mit der pq-Formel nach a auflösen.

Prüfe anschließend mit Hilfe der 2. Ableitung, ob es sich bei den Extremstellen um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt und melde dich, falls du dazu noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Comments

Danke vielmals

Answer 2

Wie bestimmt man denn Hochpunkte? Die Nullstellen der Funktion brauchst du dafür jedenfalls nicht.

Bestimme also die Extremstellen der Funktion mit den dir bekannten Bedingungen in Abhängigkeit von \(a\) und wähle \(a\) dann, so eine dieser Extremstellen an der Stelle \(x=3\) liegt. Prüfe dann noch, ob es tatsächlich ein Hochpunkt ist.

Answer 3

f(x) = x·(x - a)^2 = x^3 - 2·a·x^2 + a^2·x

f'(x) = 3·x^2 - 4·a·x + a^2

f''(x) = 6·x - 4·a

Notwendige Bedingung das bei 3 eine Extremstelle ist

f'(3) = 3·3^2 - 4·a·3 + a^2 = a^2 - 12·a + 27 = 0 --> a = 3 ∨ a = 9

Hinreichend damit bei 3 ein Hochpunkt ist

f''(3) = 6·3 - 4·a = 18 - 4·a < 0 --> a > 4.5

Damit kommt nur a = 9 als Lösung in Frage.

Skizze

~plot~ x*(x-9)^2;[[-1|10|-20|120]] ~plot~