Sattelpunkte berechnen Funktionen

Question

Aufgabe:

Welche Funktionen haben Sattelpunkte

1. f(x)= 3x+2

2. f(x)= -1/x

3. f(x)= x³ + 4x

4. f(x)= x³ - 8

5. f(x)= x³ - 2x²

6. f(x)= 2x³ + 3x² + 12

Problem/Ansatz:

4. f(x)= x³ - 8 -> Sattelpunkt (0 / -8)

gibt es noch andere Sattelpunkte bei 1. - 3. ist es ausgeschlossen, da es keine extremstelle gibt. Bei 5. und 6. komme ich auf keine.

Comments

Du hast recht. Nur 4. hat einen.

https://www.mathebibel.de/sattelpunkt-berechnen

Lass dir die Graphen plotten.

Answer 1

Sattelpunkte liegen an den Stellen, an denen die erste und die zweite Ableitung Null sind, aber nicht die dritte.

Comments

5. f(x) = x³ - 2x²

f(x) = 3x^2 - 4x

f`(x) = 6x - 4

f`(x) = 6

f= 3x^2 - 4x = 0 


x1 = 0 ; x2 = 4/3




f`= 6x - 4 = 0

x= 2/3 (hier stimmt es nicht, ist es also kein Sattelpunkt?)

f`= 6

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Sattelpunkte liegen an den Stellen, an denen die erste und die zweite Ableitung Null sind, aber nicht die dritte.

Also hat
f(x) = x⁵
keinen Sattelpunkt ?

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Beachte die Argumentationsrichtung !

R. hat "(f'(a) = 0 und f''(a) = 0 und f'''(a) ≠ 0) ⇒ f hat bei x=a einen Sattelpunkt" behauptet, was völlig richtig ist. Du willst ihm einen Fehler anhängen, indem du so tust, als hätte er " ⇐ " behauptet.

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Wie lautet die mathemat. Begründung, dass für f(x) =x⁵ bei x=0 ein Sattelpunkt vorliegt, obwohl f '''(0) = 0 gilt?

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Beachte die Argumentationsrichtung

Die Frage ist welcher Schüler ist hier in der Lage die richtige Argumentationsrichtung zu erkennen, wenn das sehr umgangssprachlich formuliert ist.

Sattelpunkte liegen an den Stellen, ...

Erkennt hier ein Schüler, dass das nicht für jeden Sattelpunkt gilt?

Der Sattelpunkt von f(x) liegt nicht an einer Stelle für die gilt ...

Dann lieber klare Bedingungen mit wenn und dann. Und möglichst auch noch in der richtigen Reihenfolge.

Wenn an einer Stelle die erste und zweite Ableitung gleich null und die dritte Ableitung ungleich null ist, dann liegt dort ein Sattelpunkt vor.

Man beachte, dass dieses allerdings dann keine mathematische Bedingung ist, allgemein ein Sattelpunkt zu erkennen.

Wie lautet die mathemat. Begründung,

Ich hätte das mit dem Vorzeichenwechselkriterium gemacht. Dann braucht man auch nur eine Ableitung.

f(x) = x⁵

f'(x) = 5·x⁴ = 0 → x = 0 ohne VZW

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$f(x)=x^5$ hat bei $x=0$ einen Sattelpunkt.

Bei $x=0$ sind die 1-te, die 2-te und die 3-te Ableitung gleich $0$.

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Das ist bekannt, reicht aber nicht als Begründung.

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Ich wollte nur sagen, dass Rolands Aussage, die dritte Ableitung muss $\ne0$ sein, für einen Sattelpunkt nicht ausreicht.

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Achso. Aber das hatten wir ja schon geklärt, dass er das nicht gesagt hat.

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Ja, das ist geklärt. Allerdings ist es schülerfreundlicher, es anders zu formulieren.

Und wenn man sagen soll, ob y = x⁵ einen Sattelpunkt hat, hilft einem Schüler die Aussage, dass man einen Sattelpunkt hat, wenn die erste und zweite Ableitung gleich null und die dritte Ableitung ungleich null ist, leider nicht weiter.

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In wieviel % der in der Schule vorkommenden Funktionen ist das von Relevanz?

Answer 2

Aloha :)

Bei einem Sattelpunkt $x_0$ findet kein Vorzeichenwechsel der Steigung statt.

Das heißt konkret:

(1) An der Stelle $x_0$ selbst verschwindet die erste Ableitung $f'(x_0)=0$$\quad\pink{\text{und}}$

(2) Direkt vor und hinter $x_0$ hat die Ableitung $f'(x_0)$ dasselbe Vorzeichen.

Die Forderung (2) kannst du wie folgt bearbeiten:

(a) Untersuche die Ableitung $f'(x)$ auf einen Vorzeichen an der Stelle $x_0$ $\quad\pink{\text{oder}}$

(b) Leite die Funktion $f(x)$ so lange ab, bis du nach $n$-mal Ableiten das erste Mal auf eine Ableitung stößt, die an der Stelle $x_0$ von null verschieden ist. Ist $n$ ungerade, liegt ein Sattelpunkt vor. Ist $n$ gerade, liegt ein Extremum (Masimum oder Minimum) vor.

Bei deinen Aufgaben könnte das so aussehen.

$$1)\quad f(x)=3x+2\quad\implies f'(x)=3$$kein Sattelpunkt, da die erste Ableitung nie null wird.

$$2)\quad f(x)=-\frac1x\quad\implies f'(x)=\frac{1}{x^2}$$kein Sattelpunkt, da die erste Ableitung nie null wird.

$$3)\quad f(x)=x^3+4x\quad\implies f'(x)=3x^2+4$$kein Sattelpunkt, da die erste Ableitung nie null wird. ($3x^2$ ist $\ge0$)

$$4)\quad f(x)=x^3-8\quad\implies f'(x)=3x^2\implies f''(x)=6x\implies f'''(x)=6$$Die erste Ableitung wir bei $x_0=0$ zu null. Die zweite Abletung ist bei $x_0=0$ ebenfalls null. Die dritte Ableitung ist ungleich null. Da $3$ (für dritte Ableitung) ungerade ist, liegt bei $x_0=0$ ein Sattelpunkt.

$$5)\quad f(x)=x^3-2x^2\quad\implies f'(x)=3x^2-4x\implies f''(x)=6x-4$$Die erste Ableitung schreiben wir in der Form $f'(x)=3x\left(x-\frac43\right)$, um die Nullstellen $x_0=0$ und $x_1=\frac43$ abzulesen. Die zweite Ableitung ist sowohl für $x_0=0$ als auch für $x_1=\frac43$ von null verschieden. Da $2$ (für zweite Ableitung) gerade ist, liegt an beiden Stellen ein Extremum und damit kein Sattelpunkt vor.

$$6)\quad f(x)=2x^3+3x^2+12\quad\implies f'(x)=6x^2+6x\implies f''(x)=12x+6$$Die erste Ableitung schreiben wir in der Form $f'(x)=6x(x+1)$, um die Nullstellen $x_0=0$ und $x_1=-1$ abzulesen. Die zweite Ableitung ist sowohl für $x_0=0$ als auch für $x_1=-1$ von null verschieden. Da $2$ (für zweite Ableitung) gerade ist, liegt an beiden Stellen ein Extremum und damit kein Sattelpunkt vor.

Comments

Bei einem Sattelpunkt $x_0$ findet ein Vorzeichenwechsel der Steigung statt.

Das nimmt einem doch gleich die Lust weiterzulesen.

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Danke dir, habe es korrigiert...

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Und was hat der FS jetzt noch zu tun? Lerneffekt mal wieder gleich 0. Es wäre doch vollkommen ausreichend gewesen, das an einem Beispiel vorzuführen. Übungsaufgaben in der Mathematik haben schon ihren Sinn.

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Und was hat der FS jetzt noch zu tun? Lerneffekt mal wieder gleich 0

Der Fragesteller hatte sich doch bereits mit der Aufgabe beschäftigt und richtig gelöst gehabt, sowie ich es verstanden habe.

Jetzt kann er dann wenigstens nochmal seine Lösung kontrollieren ob er einen ähnlichen Weg gegangen ist.