Aloha :)
Bei einem Sattelpunkt x0 findet kein Vorzeichenwechsel der Steigung statt.
Das heißt konkret:
(1) An der Stelle x0 selbst verschwindet die erste Ableitung f′(x0)=0und
(2) Direkt vor und hinter x0 hat die Ableitung f′(x0) dasselbe Vorzeichen.
Die Forderung (2) kannst du wie folgt bearbeiten:
(a) Untersuche die Ableitung f′(x) auf einen Vorzeichen an der Stelle x0 oder
(b) Leite die Funktion f(x) so lange ab, bis du nach n-mal Ableiten das erste Mal auf eine Ableitung stößt, die an der Stelle x0 von null verschieden ist. Ist n ungerade, liegt ein Sattelpunkt vor. Ist n gerade, liegt ein Extremum (Masimum oder Minimum) vor.
Bei deinen Aufgaben könnte das so aussehen.
1)f(x)=3x+2⟹f′(x)=3kein Sattelpunkt, da die erste Ableitung nie null wird.
2)f(x)=−x1⟹f′(x)=x21kein Sattelpunkt, da die erste Ableitung nie null wird.
3)f(x)=x3+4x⟹f′(x)=3x2+4kein Sattelpunkt, da die erste Ableitung nie null wird. (3x2 ist ≥0)
4)f(x)=x3−8⟹f′(x)=3x2⟹f′′(x)=6x⟹f′′′(x)=6Die erste Ableitung wir bei x0=0 zu null. Die zweite Abletung ist bei x0=0 ebenfalls null. Die dritte Ableitung ist ungleich null. Da 3 (für dritte Ableitung) ungerade ist, liegt bei x0=0 ein Sattelpunkt.
5)f(x)=x3−2x2⟹f′(x)=3x2−4x⟹f′′(x)=6x−4Die erste Ableitung schreiben wir in der Form f′(x)=3x(x−34), um die Nullstellen x0=0 und x1=34 abzulesen. Die zweite Ableitung ist sowohl für x0=0 als auch für x1=34 von null verschieden. Da 2 (für zweite Ableitung) gerade ist, liegt an beiden Stellen ein Extremum und damit kein Sattelpunkt vor.
6)f(x)=2x3+3x2+12⟹f′(x)=6x2+6x⟹f′′(x)=12x+6Die erste Ableitung schreiben wir in der Form f′(x)=6x(x+1), um die Nullstellen x0=0 und x1=−1 abzulesen. Die zweite Ableitung ist sowohl für x0=0 als auch für x1=−1 von null verschieden. Da 2 (für zweite Ableitung) gerade ist, liegt an beiden Stellen ein Extremum und damit kein Sattelpunkt vor.