Aloha :)
Bei einem Sattelpunkt \(x_0\) findet kein Vorzeichenwechsel der Steigung statt.
Das heißt konkret:
(1) An der Stelle \(x_0\) selbst verschwindet die erste Ableitung \(f'(x_0)=0\)\(\quad\pink{\text{und}}\)
(2) Direkt vor und hinter \(x_0\) hat die Ableitung \(f'(x_0)\) dasselbe Vorzeichen.
Die Forderung (2) kannst du wie folgt bearbeiten:
(a) Untersuche die Ableitung \(f'(x)\) auf einen Vorzeichen an der Stelle \(x_0\) \(\quad\pink{\text{oder}}\)
(b) Leite die Funktion \(f(x)\) so lange ab, bis du nach \(n\)-mal Ableiten das erste Mal auf eine Ableitung stößt, die an der Stelle \(x_0\) von null verschieden ist. Ist \(n\) ungerade, liegt ein Sattelpunkt vor. Ist \(n\) gerade, liegt ein Extremum (Masimum oder Minimum) vor.
Bei deinen Aufgaben könnte das so aussehen.
$$1)\quad f(x)=3x+2\quad\implies f'(x)=3$$kein Sattelpunkt, da die erste Ableitung nie null wird.
$$2)\quad f(x)=-\frac1x\quad\implies f'(x)=\frac{1}{x^2}$$kein Sattelpunkt, da die erste Ableitung nie null wird.
$$3)\quad f(x)=x^3+4x\quad\implies f'(x)=3x^2+4$$kein Sattelpunkt, da die erste Ableitung nie null wird. (\(3x^2\) ist \(\ge0\))
$$4)\quad f(x)=x^3-8\quad\implies f'(x)=3x^2\implies f''(x)=6x\implies f'''(x)=6$$Die erste Ableitung wir bei \(x_0=0\) zu null. Die zweite Abletung ist bei \(x_0=0\) ebenfalls null. Die dritte Ableitung ist ungleich null. Da \(3\) (für dritte Ableitung) ungerade ist, liegt bei \(x_0=0\) ein Sattelpunkt.
$$5)\quad f(x)=x^3-2x^2\quad\implies f'(x)=3x^2-4x\implies f''(x)=6x-4$$Die erste Ableitung schreiben wir in der Form \(f'(x)=3x\left(x-\frac43\right)\), um die Nullstellen \(x_0=0\) und \(x_1=\frac43\) abzulesen. Die zweite Ableitung ist sowohl für \(x_0=0\) als auch für \(x_1=\frac43\) von null verschieden. Da \(2\) (für zweite Ableitung) gerade ist, liegt an beiden Stellen ein Extremum und damit kein Sattelpunkt vor.
$$6)\quad f(x)=2x^3+3x^2+12\quad\implies f'(x)=6x^2+6x\implies f''(x)=12x+6$$Die erste Ableitung schreiben wir in der Form \(f'(x)=6x(x+1)\), um die Nullstellen \(x_0=0\) und \(x_1=-1\) abzulesen. Die zweite Ableitung ist sowohl für \(x_0=0\) als auch für \(x_1=-1\) von null verschieden. Da \(2\) (für zweite Ableitung) gerade ist, liegt an beiden Stellen ein Extremum und damit kein Sattelpunkt vor.
