Das ist tatsächlich nur eine umgestellte Form der Cauchy-Schwarz-Ungleichung.
Ich schreib das jetzt alles mit Vektoren und Matrizen, sodass das deutlich wird. Setze dazu
e=(11…1)T∈RN
k=(ki)=Ae, wobei A=AT die Adjazenzmatrix ist.
Dann haben wir:
M=21eTAe=21∑i=1Nki - die Anzahl der Bekanntschaften.
N=eTe - Anzahl der Freunde.
Zu zeigen ist:
N1eTAe≤2M1eTAk⇔AT=A2MeTAe≤N(Ae)T(Ae)
Also zu zeigen ist (Ausdruck für M einsetzen):
(eTAe)2≤(eTe)((Ae)T(Ae))=N∣Ae∣2
Das ist aber nichts weiter als die Cauchy-Schwarz-Ungleichung für die Vektoren e und Ae.
Damit sind wir fertig.