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Aufgabe:

Beweise die Ungleichung, das sogenannte Freundschaftsparadoxon. N die Anzahl Freunde, M die Anzahl bekanntschaften unter den Freundenblob.png

Text erkannt:

1Niki12Mi,jaijkj \frac{1}{N} \sum \limits_{i} k_{i} \leq \frac{1}{2 M} \sum \limits_{i, j} a_{i j} k_{j}

Tipp: Es gilt blob.png

Ausserdem wäre die Cauchy Schwarz Ungleichung nützlich
Problem/Ansatz:

Mir ist bewusst dass ich die linke Seite schonmal durch 2M/N ersetzen kann. Wie ich nun weiterkomme ist mir rätselhaft

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Das ist tatsächlich nur eine umgestellte Form der Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

Ich schreib das jetzt alles mit Vektoren und Matrizen, sodass das deutlich wird. Setze dazu

e=(111)TRNe= \begin{pmatrix} 1 &1 & \ldots & 1\end{pmatrix}^T \in \mathbb R^N

k=(ki)=Aek = (k_i) = Ae, wobei A=ATA= A^T die Adjazenzmatrix ist.

Dann haben wir:

M=12eTAe=12i=1NkiM =\frac 12 e^TAe = \frac 12 \sum_{i=1}^N k_i - die Anzahl der Bekanntschaften.

N=eTeN = e^Te - Anzahl der Freunde.

Zu zeigen ist:

1NeTAe12MeTAkAT=A2MeTAeN(Ae)T(Ae)\frac 1N e^TAe \leq \frac 1{2M}e^T Ak \stackrel{A^T=A}{\Leftrightarrow }2Me^TAe \leq N (Ae)^T(Ae)

Also zu zeigen ist (Ausdruck für M einsetzen):
(eTAe)2(eTe)((Ae)T(Ae))=NAe2\boxed{(e^TAe)^2\leq (e^Te)((Ae)^T(Ae))= N |Ae|^2}

Das ist aber nichts weiter als die Cauchy-Schwarz-Ungleichung für die Vektoren ee und AeAe.

Damit sind wir fertig.

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