In Limes Darstellung mal h rechnen?

Question

Aufgabe:

Darf ich bei der folgenden Darstellung:
\(\lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h}=1\) mal \(h\) rechnen, um den Limes auszurechnen?

Ich bin mir nicht sicher, da ja für \(\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}=0\) nicht mal x multipliziert werden kann...

Vielen Dank!

Comments

Ich verstehe zwar nicht genau, was Du tun willst. Aber es hört sich falsch an

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Benutze: a^h = e^(h*ln a)

Ein bekannter Grenzwert ist: h ->0 lim (e^(hx-1)/h = x

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2 Klammern auf, eine Klammer zu?

Answer 1

Hallo.

Ne das ist tatsächlich nicht ganz sauber und auch nicht richtig.

Sei a > 0 beliebig. Es gilt a^h —> a^0 = 1 für h —> 0, also gilt insbesondere a^h - 1 —> 0 für h —> 0. Da der Nenner ja für h —> 0 auch verschwindet, kannst du die Regel von L‘Hospital verwenden, da sowohl Zähler als auch Nenner für h —> 0 verschwindet.

Um den Zähler abzuleiten bemerke das die Gleichheit a^h = exp(ln(a)h) gilt. Dann ist die Ableitung vom Zäher (a^h - 1)’ = (exp(ln(a)h))’

= ln(a) exp(ln(a)h) = ln(a) a^h, wegen der Kettenregel. Der Nenner ist abgeleitet 1.

Insgesamt gilt dann also mit L“Hospital:

lim (h—> 0) (a^h - 1) / h

= lim (h—>0) ln(a) a^h

= ln(a) a^0 = ln(a).

Das Ergebnis ist also ln(a).

Answer 2

$$\lim\limits_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} \newline \text{Verwende L'Hospital: Leite Zähler und Nenner nach h ab.} \newline \lim\limits_{h \to 0} ~\frac{\ln(a) \cdot a^h - 0}{1} \newline \lim\limits_{h \to 0} ~\ln(a) \cdot a^h - 0 = \ln(a)$$

Comments

Wenn man die Ableitung von a^x kennt, dann braucht man die Regel von l'H. doch überhaupt nicht, denn was dort steht ist gerade die die Definition der Ableitung von a^x an der Stelle x=0.

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Wenn man die Ableitung von a^x nicht kennen sollte:

[a^x]' = [(e^{ln(a)})^x]' = [e^{ln(a)·x}]' = ln(a)·e^{ln(a)·x} = ln(a)·a^x

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Um die Regel von de L'Hospital in diesem Fall anwenden zu können, muss hier die Differenzierbarkeit des Zählers an der Stelle x=0 gewährleistet sein – genau das aber soll doch erst gezeigt werden. So geht es also nicht.

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das aber soll doch erst gezeigt werden

Was gezeigt werden soll, hat uns der Fragesteller leider vorenthalten. Vielleicht geht es nur darum, die Gleichung nach a aufzulösen.
Seine Frage war jedenfalls die nach der Möglichkeit einer Multiplikation mit h.

Answer 3

Du darfst das nicht als Äquivalenzrelation sehen und mit h auf beiden Seiten multiplizieren. Verwende den Trick von simple mind um dein Grenzwert zu bestimmen. Generell darfst du nur folgendes machen:

1. Direktes einsetzen falls möglich

2. Lhopital Regel

3. Lineare Operationen

4. faktorisieren und kürzen

5. substitution

usw. aber eig müsste das ausreichen