In Limes Darstellung mal h rechnen?

Question

Aufgabe:

Darf ich bei der folgenden Darstellung:
\(\lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h}=1\) mal \(h\) rechnen, um den Limes auszurechnen?

Ich bin mir nicht sicher, da ja für \(\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}=0\) nicht mal x multipliziert werden kann...

Vielen Dank!

Comments

Ich verstehe zwar nicht genau, was Du tun willst. Aber es hört sich falsch an

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Benutze: a^h = e^(h*ln a)

Ein bekannter Grenzwert ist: h ->0 lim (e^(hx-1)/h = x

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2 Klammern auf, eine Klammer zu?

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Mein Lehrer argumentiert dabei, dass der Grenzwert ja exisitert, da die Funktion stetig diff'bar ist und der Limes ja nur eine sukzessive Operation ist, wo eben konkret wirklich nur ein Wert eingesetzt wird und daher ja diese Operation funktioniert.
Ich hatte dann argumentiert, dass es ja eigentlich genau die folgende Umformung darstellt:
\(\lim_{h\to0} \frac{a^h-1}{h}=1 \Leftrightarrow \frac{lim_{h\to0} a^h-1}{lim_{h\to0} h}=1 \Leftrightarrow lim_{h\to0} a^h-1=lim_{h\to0}h\),
die ja bekanntlich nicht existiert.
Habt ihr ein Gegenbeispiel oder ein Gegenargument?

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Du behauptest am Ende sinngemäß: \( \frac{0}{0}=1 \) genau dann wenn 0=0.

Answer 1

Hallo.

Ne das ist tatsächlich nicht ganz sauber und auch nicht richtig.

Sei a > 0 beliebig. Es gilt a^h —> a^0 = 1 für h —> 0, also gilt insbesondere a^h - 1 —> 0 für h —> 0. Da der Nenner ja für h —> 0 auch verschwindet, kannst du die Regel von L‘Hospital verwenden, da sowohl Zähler als auch Nenner für h —> 0 verschwindet.

Um den Zähler abzuleiten bemerke das die Gleichheit a^h = exp(ln(a)h) gilt. Dann ist die Ableitung vom Zäher (a^h - 1)’ = (exp(ln(a)h))’

= ln(a) exp(ln(a)h) = ln(a) a^h, wegen der Kettenregel. Der Nenner ist abgeleitet 1.

Insgesamt gilt dann also mit L“Hospital:

lim (h—> 0) (a^h - 1) / h

= lim (h—>0) ln(a) a^h

= ln(a) a^0 = ln(a).

Das Ergebnis ist also ln(a).

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Ok, vielen Dank!

SO hatte unser Lehrer nämlich die e-Funktion hergeleitet, daher war ich etwas verwundet, da man das so allgemein ja nicht machen kann...

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Mein Lehrer argumentiert dabei, dass der Grenzwert ja exisitert, da die Funktion stetig diff'bar ist und der Limes ja nur eine sukzessive Operation ist, wo eben konkret wirklich nur ein Wert eingesetzt wird und daher ja diese Operation funktioniert.
Ich hatte dann argumentiert, dass es ja eigentlich genau die folgende Umformung darstellt:
\(\lim_{h\to0} \frac{a^h-1}{h}=1 \Leftrightarrow \frac{lim_{h\to0} a^h-1}{lim_{h\to0} h}=1 \Leftrightarrow lim_{h\to0} a^h-1=lim_{h\to0}h\),
die ja bekanntlich nicht existiert.
Habt ihr ein Gegenbeispiel oder ein Gegenargument?

Answer 2

$$\lim\limits_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} \newline \text{Verwende L'Hospital: Leite Zähler und Nenner nach h ab.} \newline \lim\limits_{h \to 0} ~\frac{\ln(a) \cdot a^h - 0}{1} \newline \lim\limits_{h \to 0} ~\ln(a) \cdot a^h - 0 = \ln(a)$$

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Wenn man die Ableitung von a^x kennt, dann braucht man die Regel von l'H. doch überhaupt nicht, denn was dort steht ist gerade die die Definition der Ableitung von a^x an der Stelle x=0.

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Wenn man die Ableitung von a^x nicht kennen sollte:

[a^x]' = [(e^{ln(a)})^x]' = [e^{ln(a)·x}]' = ln(a)·e^{ln(a)·x} = ln(a)·a^x

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Um die Regel von de L'Hospital in diesem Fall anwenden zu können, muss hier die Differenzierbarkeit des Zählers an der Stelle x=0 gewährleistet sein – genau das aber soll doch erst gezeigt werden. So geht es also nicht.

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das aber soll doch erst gezeigt werden

Was gezeigt werden soll, hat uns der Fragesteller leider vorenthalten. Vielleicht geht es nur darum, die Gleichung nach a aufzulösen.
Seine Frage war jedenfalls die nach der Möglichkeit einer Multiplikation mit h.

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Entschuldigt, für die etwas oberflächliche Fragestellung.

Es ging darum, dass mein Mathelehrer mittels obiger Umformung die e-Funktion hergeleitet hat, ich aber etwas verwundert war, da ich noch die diesen Umformungsschritt gesehen habe...

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Wenn in der Schule die Differenzierbarkeit der Funktion f mit f(x) = a^x aufgrund anschaulicher Überlegungen (Graph) akzeptiert wird, dann kann die Zahl e als diejenige Basis definiert werden, für die f '(0) = 1 ist, was auf die obige Gleichung hinausläuft.

Was mit mittels obiger Umformung die e-Funktion hergeleitet gemeint ist bleibt aber ohne Kenntnis dieser weiteren Umformungsschritte unklar.

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Habt ihr ein konkretes Gegenbeispiel /-beweis dafür?

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Genau, dass haben wir so argumentiert.

Nur ich denke, dass die Umformung bei dem Limes nicht korrekt ist und daher frage ich euch, ob das stimmt.

Ich hatte mir etwas falsch ausgedrückt, mittels obiger Umfornung haben wir die Zahl e hergeleitet. Nur ich möchte wissen, ob das so korrekt umgeformt ist...

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Die Gleichung könnte auf Schulniveau wie folgt weiter behandelt werden :

Für sehr kleine h ist (a^h -1)/h ≈ 1 , also a^h ≈ 1+h, also a ≈ (1+h)^1/h
und mit 1/h = n wird a ≈ (1 + 1/n)^n, was im Grenzfall zu e = lim_n→∞ (1 + 1/n)^n wird,
falls e als dieser Grnzwert definiert worden war.

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Ok, ja, so könnte man das machen bzw. haben wir das auch ungefähr gemacht.

Kannst du noch sagen, warum das ganz formal nicht funktioniert, also wo da der Fehler ist, weil mein Lehrer argumentiert hat, dass der Grenzwert ja exisitieren muss?

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Wenn man weiß, dass der Grenzwert existiert, dann kann man aus lim_h→0 (a^h-1)/h = 1 durch Multiplikation mit h zwar auf h·lim_h→0 (a^h-1)/h = h schließen, aber die beiden hs sind nicht dieselben. Das rote ist eine "gebundene Variable", für die hier ein Grenübergang erfolgt, das blaue eine ganz andere, "freie Variable". Wenn nun zusätzlich auch noch das blaue h gegen 0 konvergieren soll, so ist das nicht mit einem einzigen Grenzübergang möglich.

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Was mit mittels obiger Umformung die e-Funktion hergeleitet gemeint ist bleibt aber ohne Kenntnis dieser weiteren Umformungsschritte unklar.

Genau. Solange Du nicht konkret die Umformung des Lehrers vollständig im Original hier darlegst, kann man hier ewig weiterdiskutieren. Lade die mal hoch.

Answer 3

Du darfst das nicht als Äquivalenzrelation sehen und mit h auf beiden Seiten multiplizieren. Verwende den Trick von simple mind um dein Grenzwert zu bestimmen. Generell darfst du nur folgendes machen:

1. Direktes einsetzen falls möglich

2. Lhopital Regel

3. Lineare Operationen

4. faktorisieren und kürzen

5. substitution

usw. aber eig müsste das ausreichen

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Vielen Dank!