Vektorraum f Verkettung soll Basis sein

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgobe
Es sei Vein Vellonawm uber sinem coirer \( k \) mil dim \( (V)=n \geq 2 \) and \( f: V \rightarrow V \). cine lin, ABe mit \( f^{\circ(n-1)} \neq 0 \) und \( f^{\circ n}=0 \) Beweisen Sic, dass es eine Bais \( w_{1}, v_{n} \) fin V gibl, soldass \( f\left(v_{i}\right)=0 \) und \( f\left(v_{i}\right)=v_{i}-1 \) fin alle \( 2 \leq i \leq n \)

Beweis:
\( \begin{array}{l} f\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \\ f^{n+i}\left(v_{1}\right)=y_{k} \\ f(n)=0 \text {. } \\ f^{n n-2}\left(v_{n}\right)=V_{2} \\ f\left(v_{i}\right)=v_{i-1} \text { fin alle. } 2 \leq i \leq n \\ f^{0 n-3}\left(v_{n}\right)=v_{3} \\ v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}=f^{0(n-1)}\left(v_{n}\right), f^{0(n-2)}\left(v_{n}\right), \ldots, v_{n} \end{array} \)

Nach Aushuuchroí von Sfeinit nur linear Unabhaingyhaid reigen: Sei \( a_{1} k_{n}+\ldots, a_{n} v_{n}=0 \)
\( \xi: a_{1}\left(f^{\left(n^{-1}\right)}\left(V_{n}\right)\right)+a_{2}\left(f^{0\left(n_{2}\right)}\left(V_{n}\right)\right)+\ldots+a_{n} V_{n}=0 \Rightarrow a_{n}=\ldots=a_{n}=0 \)
madellianbuweris:
\( \sum: \sum \limits_{i=1}^{\infty} f^{0(n-1)}\left(V_{n}\right) \neq Q \)

IA: \( j=1 \) :
\( f^{\circ(n-1)}\left(v_{n}\right) \neq 0 \checkmark \)

IN: Bebaptrog filffic sing \( j \in \mathbb{N} \).
\( \begin{array}{l} \sum \limits_{i=1}^{i} f^{0(n-1)}\left(N_{n}\right) \neq 9 \end{array} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe mich hier verrannt glaube ich, kann mir wer weiterhelfen?

Comments

Du musst am Anfang zunächst die v_i definieren - unter Benutzung der Voraussetzungen

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Ok aber wie komme ich weiter bei der Rechnung?

Answer 1

Ich schreibe mal verkürzt \(f^k\) für die Verkettungen von f

Nach Voraussetzung ist \(f^{n-1} \neq 0\), also existiert \(w \in V\) mit \(f^{n-1}(w)\neq 0\). Damit definieren wir

$$v_i:=f^{n-i}(w), \quad i=1, \ldots n-1 \text{  und }v_n:=w=:f^0(w)$$

(also mit \(f^0\) als Bezeichnung der Identität). Man stellt für die relevanten i fest:

$$f^i(v_i)=0 \text{   und  }v_i=f \circ f^{n-(i+1)}(w)=f(v_{i+1})$$

Beleibt noch zu zeigen, dass \((v_1, \ldots, v_n)\) linear unabhängig sind: Wenn mit Skalaren \(a_i\) gilt

$$\sum_{i=1}^na_i v_i=0$$

Dann folgt \(0=f^{n-1}(0)=....\)

Jetzt Du