Matrizen und Verkettung berechnen mit gewählter Basis

Question

Wir fassen hier V = ℂ = ℝ² als 2-dimensionalen Vektorraum über

dem Körper  K = ℝ der reellen Zahlen auf und betrachten die linearen Abbildungen

f : ℂ → ℂ,     z ↦ iz und g : ℂ → C,    z ↦  z¯.  (also z quer)

Wählen Sie eine Basis, und stellen Sie bezüglich der gewählten Basis die

zugehörigen reellen 2 × 2-Matrizen A = (α_ij ) bzw. B = (β_ij ) auf.

Berechnen Sie schließlich die Matrizen zu den Verkettungen f ◦ g und g ◦ f.


Diese Aufgabe verwirrt mich... Ich finde keinen Ansatz.. Was bzw. wie muss ich das machen?

Answer 1

1. Stelle eine Basis auf. 

Hier solltest du versuchen die Frage zu beantworten wie \(\mathbb{C} \) und \( \mathbb{R}^2 \) zusammen hängen. Eine Basis zu \( \mathbb{R}^2 \) müsste dir bekannt sein. Wie kann man also komplexe Zahlen bezüglich einer solchen Basis darstellen.

2. Stelle die Matrizen auf.

Stichwort: Lineare Abbildungen als Matrizen schreiben. Da du die Funktionsvorschrift kennst kannst du die mit Aufgabenteil 1. die Koeffizienten der Matrix bestimmen.

Die eine Abbildung ist eine Projektion die andere eine Spiegelung. 

3. Verkettung linearer Abbildungen kann man als Multiplikation ihrer darstellenden Matrizen auffassen.

Gruß

Comments

Könntest du das vielleicht so vorrechnen, dass ich das dann auch verstehe?

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Zuerst muss ich meine Aussage berichtigen, bei der einen Funktion handelt es sich nicht um eine Projektion sondern um eine Drehung.

Eine komplexe Zahl der Form \( z = x+iy \) mit \(x,y \in \mathbb{R}\) kann man als Vektor \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2\) auffassen.

Als Beispiel mal die Funktion: f(z) = iz, du willst diese als Abbildung auf der Ebene darstellen. Zuerst:

iz = -y +ix,

das bedeutet du suchst eine 2x2-Matrix \(A\), sodass gilt

$$ A \cdot \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} $$

Jetzt ist der Ball in deiner Hand.

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wie entstehen zwei matrizen ? 

gewählt werden muss doch nur eine einzige basis ? kann die standardbasis verwenden ?

Answer 2

Hi, diese Aufgabe muss ich selber bearbeiten und stelle meine Lösung mal als Antwort rein, bin mir allerdings unsicher od dies richtig ist.

Also nach dem was Yakyu geantwortet hat, habe ich diese Lösung raus.

Wähle die Standardbasis e₁, e₂, e₁´, e₂´ ∈ ℝ²

f(e1) = f( 1 0) = (0 1)   -> als vektor geschrieben.

f(e2) = f(0 1) = (-1 0)

Beschreibe f(e1) und f(e2) als Linearkombination von e1´ = (1 0) und e2´ = (0 1).

f(e1) = (0 1) = 0*e1´+ 1*e2´

f(e2) = (-1 0 ) = -1*e1´+ 0*e2´

Damit hat die Matrix die Form $$A\quad =\quad \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

$$\quad \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}*\quad (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})\quad =\quad (\begin{matrix} -y \\ x \end{matrix})$$

zu g: ℂ → ℂ, z → z(quer) gilt das analog
z(quer) = x - iy. Also ist eine Matrix gesucht, so dass gilt B*( x y) = (x -y)
.....
(sorry hab keine zeit alles ausführlich zu schreiben)

Damit hat die Matrix die Form $$B\quad =\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Nach Punkt 3 von Yakyus Antwort muss die Matix zu den Verkettungen
f ° g = A*B = $$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=\quad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
und g°f = B*A = $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\quad \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Also nochmals, ich bin mir ziemlich unsicher ob das richtig ist, wollte nur mal meine Lösung mit anderen teilen :)

Comments

Hi Momo. 

Freut mich wenn einer der Tipps nützlich für dich war. Sieht alles gut aus.

Gruß

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Super, danke für die Rückmeldung :D

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ist NICHT 

 f o g = B*A und g o f = A*B ?

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Nein. Hättest du aber nach einer einfachen Probe schon sehen können.

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kannst du erklären welche probe ? und ist e1 nicht 1,0 und nicht 0,1 ? sorry für die vielen fragen?

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e1 ist doch (1 0) aber f(e1) ist dann (0 1).

Für f hab ich die Matrix A, für g die Matrix B. Also ist die Matrix zu den Verkettungen = die Matrix, die als Ergebnis der Matrizenmultiplikation entsteht.

Also gilt : f°g = A*B und g°f = B*A

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ach hast du schon ausgerechnet 

gut okay  

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Jep, sorry hab alles etwas unübersichtlich geschrieben :/

falls du an der hhu bist LA1, ist dass das selbe shema, wie es im Tutorium erklärt wurde.

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Ich finde es nicht unübersichtlich. Der Gast sollte sich einfach mehr Zeit zum Lesen und Denken geben.

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@momo Garnicht :) hab mich nur  verlesen 

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Na, dann ist ja alles gut :D