Abbildungen, Abbildungsvorschrift angeben und Verkettung

Question

Hallo zusammen.

Ich habe folgende Aufgabe bekommen:

$$\text{Wir betrachten folgende drei Abbildungen:}\\f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}, x\mapsto x-1\\g:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}, x\mapsto \frac{2}{3}x\\h:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}, x\mapsto x^2+x+1\\\text{(i) Geben Sie die Abbildungsvorschriften von } f \circ h \text{ und } g \circ h \circ f \text{ an.}\\\text{(ii) Bestimmen Sie } h \circ g(1),\text{ } g \circ h \circ f(7) \text{ und } g \circ f \circ h(\frac{1}{2}).$$

Was genau muss ich hier tun? In meinem Skript ist nicht ein Mal von einer Abbildungsvorschrift die Rede & es gibt auch kein Beispiel, wie man solch eine Aufgabe löst.

Außerdem weiß ich auch nicht so genau, wie ich das mit der Verkettung machen soll...

Vielen Dank :)

Answer 1

Aloha :)

Für die gegebenen Funktionen$$\red{f(x)=x-1}\quad;\quad \green{g(x)=\frac23x}\quad;\quad \blue{h(x)=x^2+x+1}$$lautet Verkettung 1$$(\red f\circ\blue h)(x)=\red f(\blue {h(x)})=f(\blue{x^2+x+1})=\red(\blue{x^2+x+1}\red)\red{-1}=x^2+x$$und Verkettung 2$$(\green g\circ\blue h\circ\red f)(x)=\green g(\blue h(\red f(x)))=\green g(\blue h(\red{x-1}))=\green g(\blue(\red{x-1}\blue{)^2+(}\red{x-1}\blue{)+1})$$$$\phantom{(\green g\circ\blue h\circ\red f)(x)}=\green g(x^2-x+1)=\green{\frac23(}x^2-x+1\green)$$

Die anderen numerischen Beispiele laufen nach demselben Prinzip:

$$(h\circ g)(1)=h(g(1))=h\left(\frac23\right)=\frac{19}{9}$$$$(g\circ h\circ f)(7)\stackrel{\text{Teil 1}}{=}\frac23\left(7^2-7+1\right)=\frac{86}{3}$$$$(g\circ f\circ h)\left(\frac12\right)=g\left(f\left(h\left(\frac12\right)\right)\right)=g\left(f\left(\frac74\right)\right)=g\left(\frac34\right)=\frac12$$

Comments

Super, vielen Dank!

Dann hatte ich alles richtig gerechnet :)

Answer 2

f(x)=x-1; g(x)=\( \frac{2}{3} \)x.

f ° g(x)=f(g(x))=\( \frac{2}{3} \)x - 1.

Comments

Also wäre dann $$f \circ h = f(h(x)) = (x^2+x+1)-1 \text{ und }\\g \circ h \circ f = \frac{2}{3}((x-1)^2+(x-1)+1)$$ Verstehe ich das richtig

---

Das verstehst Du genau richtig, aber beachte: \(f\circ h\) ist eine Funktion und \((f\circ h)(x)\) ein Funktionswert. In Deinen beiden Zeilen muss daher auch links der Funktionswert stehen, also \((f\circ h)(x)\) bzw. \((g\circ h\circ f)(x)\).

---

Verstehe! Vielen Dank :)