Wie lautet die explizite Formel?

Question

Gegeben sei die natürliche Zahlenfolge (a_n)_n∈ℕ definiert durch

a_n=n+1, falls n ungerade,

a_n=n, falls n gerade.

(a_n)_n∈ℕ ist die Differenzenfolge einer weiteren Folge (b_n)_n∈ℕ mit b₀=0. Die arithmetischen Mittel je zweier aufeinanderfolgender Glieder von (b_n)_n∈ℕ bilden eine Folge (c_n)_n∈ℕ. Wie lautet die explizite Formel des Folgengliedes c_n?

Comments

an=n+1, falls n ungerade,

an=n, falls n gerade.

(an)n∈ℕ ist die Differenzenfolge einer weiteren Folge (bn)n∈ℕ mit b0=0

Deine an verwirren mich: Es sind Folgen und eine Differenzfolge. Wie ist bn definiert?

Die gesamte Aufgabenstellung ist für mich verwirrend.

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Die gesamte Aufgabenstellung ist für mich verwirrend.

Mit Verlaub : Das wundert mich nicht.

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Die gesamte Aufgabenstellung ist für mich verwirrend.

für mich nicht! Und auf das Ergebnis kommt man auch recht einfach. Schwieriger wird es, das ganze mathematisch sauber zu formulieren.

Wie ist bn definiert?

Definition: \(a_n\) ist die Differenzenfolge von \(b_n\). Bzw.: \(a_n=b_{n}-b_{n-1}\)

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Das bedeutet wohl nur

a(n) = b(n) - b(n-1) oder eben
b(n) = b(n - 1) + a(n)

b(1) = b(0) + a(1)
b(2) = b(1) + a(2)
...

Ist das so klar?

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das ganze mathematisch sauber zu formulieren.

Vorschlag dazu : Arbeite mit ℕ={1,2,3,...} und ℕ₀={0,1,2,3,...} und formuliere
(a_n)_n∈ℕ wie oben, dann
(a_n)_n∈ℕ ist die Differenzenfolge einer weiteren Folge (b_n)_n∈ℕ und außerdem b₀=0. Die arithmetischen Mittel je zweier aufeinanderfolgender Glieder von (b_n)_n∈ℕ0 bilden eine Folge (c_n)_n∈ℕ.

Answer 1

Ich komme auf:

c(n) = (n + 1)·(n + 2)/2

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Ich komme auf:
c(n) = (n + 1)·(n + 2)/2

Das Ergebnis sähe schöner aus, wenn Du von \(c_n=\frac12(b_n+b_{n-1})\) ausgehst, statt \(c_n=\frac12(b_{n+1}+b_{n})\).

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Dann wäre das doch einfach nur

c(n) = n·(n + 1)/2

oder sehe ich das verkehrt. Achso ausmultipliziert sieht das schöner aus.

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Achso ausmultipliziert sieht das schöner aus.

Das sieht auch besser aus, wenn man es nicht ausmultipliziert. Und in dieser Form hat es auch einen Namen.

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Gemeint war: c(n) = n·(n + 1)/2

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Mein obiger Kommentar sollte gerade diese Wahlfreiheit, von etwas ausgehen zu können, beseitigen. Er bewirkt eine einheitliche Indexierung der Folgen a und c und als Resultat davon auch das "schönere" Ergebnis.

Answer 2

a_n=n+1, falls n ungerade,

a_n=n, falls n gerade.

Das ist also die Folge {2, 2, 4, 4, 6, 6, ...}

mit den Folgengliedern

1,5+0,5,

2,5-0,5

3,5 +0,5

4,5-0,5

5,5+0,5

6,5-0,5

Bekommst du DAFÜR die explizite Form hin?

Comments

Bekommst du DAFÜR die explizite Form hin?

Ich fand es recht einfach, mit der gegebenen Fallunterscheidung zu arbeiten.

Denkst du, es ist geschickter, da einen expliziten Term zu nehmen?

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Der Beweis der Formel für c benötigt bei rekursiv gegebener Folge a eine Induktion, bei explizit gegebener genügen Termumformungen.

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Ich habe eine explizite Formel für a_n, allerdings mit Fallunterscheidung. Darüber klappte das aber auch mit etwas Gehirnschmalz.