Bestimme x+y unter einer Bedingung

Question

Bestimme x+y, wenn 4^-x-2^y-x+1+4^y=0.

Answer 1

4^-x-2^y-x+1+4^y=0   | *4^x

<=>1  - 2·2^x+y +  (2^x+y)^2 = 0

<=>  (1-2^x+y)^2 = 0

<=>   2^x+y=1  <=>  x+y=0

Comments

$$4^{- x} - 2^{y - x + 1} + 4^y = 0 \newline 2^{- 2 \cdot x} - 2^{y - x + 1} + 2^{2 \cdot y} = 0 \newline 2^{0} - 2^{x + y + 1} + 2^{2 \cdot x +2 \cdot y} = 0 \newline 1 - 2 \cdot 2^{x + y} + (2^{x + y})^2 = 0 \newline 1 - 2 \cdot z + z^2 = 0 \newline z^2 - 2 \cdot z + 1 = 0 \newline (z - 1)^2 = 0 \newline z = 1 \newline 2^{x + y} = 1 \newline x + y = 0$$

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Eine sehr schöne Lösung. Leider ist die Auszeichnung 'Beste' schon vergeben.

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Ich habe nur die Lösung von mathef etwas angepasst, sodass sie auch für weniger begabte Schüler etwas lesbarer wird.

Answer 2

Es gilt stets \(x+y=0\), denn für \(x=-y\) ergibt sich

\(4^{-x}-2^{y-x+1}+4^y=2^{2y}-2^{2y+1}+2^{2y}=2\cdot 2^{2y}-2^{2y+1}=2^{2y+1}-2^{2y+1}=0\).