Obersumme und Untersumme

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f(x)=0,5x^3.

          Berechnen Sie die Untersumme U₁₀₀ und die Obersumme O₁₀₀ von f über [0;2]

Problem/Ansatz:

Vom Prinzip her scheint die Aufgabe leicht, was mich verwirrt ist jedoch die Eingabe in den TR.

Im Buch steht die Formel :

                     _n-1

U_n= (b - a)/n  ∑ f( a+i * (b-a)/n)

                    ⁱ⁼⁰

Wenn ich diese Formel nutze komme ich auf das Ergebnis "1/25" . Wenn ich jedoch einen anderen Rechenweg nutze komme ich auf das Ergebnis "1,96" .

Ich bin verzweifelt und weiß nicht genau welches Ergebnis bzw. welcher Rechenweg richtig ist und wollte meine Antwort eigentlich nur hier vergleichen.

Ich schätze jede Antwort wert!! Danke im Voraus.

Comments

Wenn ich jedoch einen anderen Rechenweg nutze ...

Welchen?

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U100 = 2/100 * \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n} \)  (0,5(2x/100)^3)

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* Bitte ersetze das Unendlich mit der zahl 99.. kenne mich hier nicht so gut aus

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Mit dieser Formel stimmt etwas nicht, denn das x wird nicht verändert.

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b - a/n

ist schon mal falsch, weil da Klammern fehlen.

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oh und das n nach dem Sigma.. das gehört auch nicht dazu also:

U100 = 2/100* \( \sum\limits_{x=0}^{\infty} \) (0,5(2x/100)³)

Das unendlich Zeichen soll für die 99 stehen.. kann es irgendwie nicht ändern

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Da scheint Unklarheit zu herrschen zu den Formeln und deren Anwendung. Wenn man die konstante Breite der n Rechtecke ausklammert und jeweils mit der Höhe multipliziert, lauten bei einer monoton steigenden Funktion die Formeln zur Approximation von

\(\int\limits_{a}^{b} f(x) \; dx \)

mit Untersumme U_n, Obersumme O_n oder Mittelsumme M_n:

\( U_n=\frac{b-a}{n} \cdot \sum\limits_{i=0}^{n-1}{f(a+i\cdot\frac{b-a}{n})}\)

\( O_n=\frac{b-a}{n} \cdot \sum\limits_{i=1}^{n}{f(a+i\cdot\frac{b-a}{n})}\)

\( M_n=\frac{b-a}{n} \cdot \sum\limits_{i=1}^{n}{f(a-\frac{\frac{b-a}{n}}{2}+i\cdot\frac{b-a}{n})}\)

Je größer n, desto näher nähern sich Unter- und Obersumme an den exakten Integralwert 2:

Die Mittelsumme nähert sich auch von unten, aber schneller.

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Die o.g. Formeln für Unter- und Obersumme gelten aber nur für monoton steigende Funktionen wie z.B. diese hier.

Answer 1

\(U_{100} = 2/100\cdot \sum\limits_{i=0}^{99} \) (0,5(2i/100)3)

Das stimmt, richtiges Ergebnis ist 1.9602.

Was Du gerechnet hast, wissen wir nicht. Eingabefehler am TR? Warum rechnest Du mit 2/100 und nicht mit 1/50? Würde das Eingabefehlerrisiko schon reduzieren.

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DANKEE!!! :DD

Answer 2

Wenn ich diese Formel nutze komme ich auf das Ergebnis "1/25" .

Dann benutzt du die Formel falsch. Die Formel liefert 1,9602.

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Wie genau hast du die Werte eingesetzt, wenn ich fragen darf??

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(%i4) a: 0$ b: 2$ n: 100$ f(x) := 1/2*x^3$
(%i5) (b-a)/n*sum(f(a+i*(b-a)/n), i, 0, n-1);
(%o5) 9801/5000
(%i6) %,numer;
(%o6) 1.9602`