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Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f(x)=0,5x^3.

          Berechnen Sie die Untersumme U100 und die Obersumme O100 von f über [0;2]


Problem/Ansatz:

Vom Prinzip her scheint die Aufgabe leicht, was mich verwirrt ist jedoch die Eingabe in den TR.

Im Buch steht die Formel :

                     n-1

Un= (b - a)/n  ∑ f( a+i * (b-a)/n)

                    i=0

Wenn ich diese Formel nutze komme ich auf das Ergebnis "1/25" . Wenn ich jedoch einen anderen Rechenweg nutze komme ich auf das Ergebnis "1,96" .

Ich bin verzweifelt und weiß nicht genau welches Ergebnis bzw. welcher Rechenweg richtig ist und wollte meine Antwort eigentlich nur hier vergleichen.

Ich schätze jede Antwort wert!! Danke im Voraus.

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Wenn ich jedoch einen anderen Rechenweg nutze ...

Welchen?

U100 = 2/100 * \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n} \)  (0,5(2x/100)^3)

* Bitte ersetze das Unendlich mit der zahl 99.. kenne mich hier nicht so gut aus

Mit dieser Formel stimmt etwas nicht, denn das x wird nicht verändert.

b - a/n

ist schon mal falsch, weil da Klammern fehlen.

oh und das n nach dem Sigma.. das gehört auch nicht dazu also:


U100 = 2/100* \( \sum\limits_{x=0}^{\infty} \) (0,5(2x/100)3)

Das unendlich Zeichen soll für die 99 stehen.. kann es irgendwie nicht ändern

Da scheint Unklarheit zu herrschen zu den Formeln und deren Anwendung. Wenn man die konstante Breite der n Rechtecke ausklammert und jeweils mit der Höhe multipliziert, lauten bei einer monoton steigenden Funktion die Formeln zur Approximation von

\(\int\limits_{a}^{b} f(x) \; dx \)

mit Untersumme Un, Obersumme On oder Mittelsumme Mn:


\( U_n=\frac{b-a}{n} \cdot \sum\limits_{i=0}^{n-1}{f(a+i\cdot\frac{b-a}{n})}\)

\( O_n=\frac{b-a}{n} \cdot \sum\limits_{i=1}^{n}{f(a+i\cdot\frac{b-a}{n})}\)

\( M_n=\frac{b-a}{n} \cdot \sum\limits_{i=1}^{n}{f(a-\frac{\frac{b-a}{n}}{2}+i\cdot\frac{b-a}{n})}\)


Je größer n, desto näher nähern sich Unter- und Obersumme an den exakten Integralwert 2:

blob.png

Die Mittelsumme nähert sich auch von unten, aber schneller.

Die o.g. Formeln für Unter- und Obersumme gelten aber nur für monoton steigende Funktionen wie z.B. diese hier.

2 Antworten

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Beste Antwort

\(U_{100} = 2/100\cdot \sum\limits_{i=0}^{99} \) (0,5(2i/100)3)

Das stimmt, richtiges Ergebnis ist 1.9602.

Was Du gerechnet hast, wissen wir nicht. Eingabefehler am TR? Warum rechnest Du mit 2/100 und nicht mit 1/50? Würde das Eingabefehlerrisiko schon reduzieren.

Avatar von 9,7 k

DANKEE!!! :DD

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Wenn ich diese Formel nutze komme ich auf das Ergebnis "1/25" .

Dann benutzt du die Formel falsch. Die Formel liefert 1,9602.

Avatar von 107 k 🚀

Wie genau hast du die Werte eingesetzt, wenn ich fragen darf??

(%i4) a: 0$ b: 2$ n: 100$ f(x) := 1/2*x^3$
(%i5) (b-a)/n*sum(f(a+i*(b-a)/n), i, 0, n-1);
(%o5) 9801/5000
(%i6) %,numer;
(%o6) 1.9602`

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