Kurvendiskussion: Aus einem Gleichungssystem soll eine Polynomfunktion dritten Grades berechnet werden.

Question

Ich muss für einen Auftrag im Mathematik eine Aufgabe zum Thema Kurvendiskussion lösen. Und zwar habe ich folgende Angaben:

f (0) = -6

f ' (1) = -11

f '' (1) = -10

f (2) = -38

Wie kann ich daraus nun die Polynomfunktion drittens Grades berechnen?

Die Formel lautet ja: f (x) = ax³ + bx² + cx + d

Ich verstehe aber nicht, wie ich denn aus den oberen Zahlen a,b,c und d berechnen kann.

Ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen, bevor ich an diesem Auftrag verzweifle.

 

Vielen Dank für eure Bemühungen.

Freundliche Grüsse

Answer 1

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

f'(x) = 3·a·x^2 + 2·b·x + c

f''(x) = 6·a·x + 2·b

 

f(0) = -6
a·0^3 + b·0^2 + c·0 + d = -6
d = -6

f'(1) = -11
3·a·1^2 + 2·b·1 + c = -11
3·a + 2·b + c = -11

f''(1) = -10
6·a·1 + 2·b = -10
6·a + 2·b = -10

f(2) = -38
a·2^3 + b·2^2 + c·2 + d
8·a + 4·b + 2·c + d = -38

Wir erhalten das LGS

d = -6
3·a + 2·b + c = -11
6·a + 2·b = -10
8·a + 4·b + 2·c + d = -38

Das lösen wir mit dem Gauss und erhalten a = -5 ∧ b = 10 ∧ c = -16 ∧ d = -6

Daher lautet die Funktion

f(x) = - 5·x^3 + 10·x^2 - 16·x - 6

Answer 2

 

Du musst von allgemeinen Form die 1. und 2. Ableitung bestimmen und dann die gegebenen Werte einsetzen:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

 

f(0) = - 6 = a*0³ + b*0² + c*0 + d

f'(1) = -11 = 3*a*1² + 2*b*1 + c

f''(1) = -10 = 6*a*1 + 2b

f(2) = -38 = a*2³ + b*2² + c*2 + d

 

Das noch einmal vernünftig hingeschrieben ergibt

d = -6

3a + 2b + c = -11

6a + 2b = -10

8a + 4b + 2c + d = -38

 

Das kann man mit dem Gauß-Verfahren oder mit einem vernünftigen Taschenrechner lösen:

a = -5

b = 10

c = -16

d = -6

 

Die gesuchte Funktion lautet also

f(x) = -5x³ + 10x² - 16x - 6

 

Besten Gruß

Comments

Vielen Dank für die rasche Antwort. Aber könnte mir vielleicht jemand das Gauss-Verfahren kurz aufzeigen?

Anhand dieser Zahlen von oben:

d = -6

3a + 2b + c = -11

6a + 2b = -10

8a + 4b + 2c + d = -38

Einzige Änderung wäre: d = - 20

Wäre super.

Vielen Dank

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zum Gauß-Verfahren, was ich persönlich äußerst ungern anwende :-)

Man darf Zeilen addieren, vertauschen, multiplizieren, Vielfaches oder Bruchteile einer Zeile zu einer anderen addieren oder von dieser subtrahieren.

Angestrebt ist eine Diagonalmatrix.

 

d = -20

3a + 2b + c = -11

6a + 2b = -10

8a + 4b + 2c + d = -38

Schematisch hingeschrieben:

 

I.   8 4 2 1 | -38

II.  3 2 1 0 | -11

III. 6 2 0 0 | -10

IV. 0 0 0 1 | -20

 

I. - IV.

I.   8 4 2 0 | - 18

II.  3 2 1 0 | - 11

III. 6 2 0 0 | - 10

IV. 0 0 0 1 | - 20

 

I. - 2 * II.

I.   2 0 0 0 | 4

II.  3 2 1 0 | - 11

III. 6 2 0 0 | - 10

IV. 0 0 0 1 | - 20

 

III. - 2 * II.

I.   2 0 0 0 | 4

II.  3 2 1 0 | - 11

III. 0 -2 -2 0 | 12

IV. 0 0 0 1 | - 20

 

II. - 3/2 * I.

I. 2 0 0 0 | 4

II. 0 2 1 0 | - 17

III. 0 -2 -2 0 | 12

IV. 0 0 0 1 | - 20

 

III. + II.

I. 2 0 0 0 | 4

II. 0 2 1 0 | - 17

III. 0 0 -1 0 | - 5

IV. 0 0 0 1 | - 20

 

II. + III.

I. 2 0 0 0 | 4

II. 0 2 0 0 | - 22

III. 0 0 -1 0 | -5

IV. 0 0 0 1 | -20

 

Nun erhalten wir die Diagonalmatrix:

I./2 | II./2 | III./(-1)

I. 1 0 0 0 | 2

II. 0 1 0 0 | - 11

III. 0 0 1 0 | 5

IV. 0 0 0 1 | - 20

 

a = 2

b = -11

c = 5

d = -20

 

Es geht sicherlich eleganter und schneller, aber wie schon oben gesagt ist der Gauß-Algorithmus nicht so sehr mein Ding :-D

 

Besten Gruß

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Ich behaupte ja immer gerne das das Gauss-Verfahren bestimmt nicht von Gauss so angewendet worden ist. Das Gauss-Verfahren ist so umständlich das Gauss das bestimmt nie so gemacht hätte.

Das einfache Additionsverfahren für Gleichungen ist da wesendlich handlicher. Es wäre Unsinnig zuerst die linke Variable zu eliminieren wenn es bei der rechten Deutlich einfacher ist. Außerdem hätte Gauss bestimmt nicht Gleichungen oder Koeffizienten unnötigerweise mehrfach identisch notiert.

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@Mathecoach:

Wenn man es gut beherrscht, kommt man sicherlich mit ein paar Schritten weniger zum Ziel, als ich gebraucht habe.

Ich stimme Dir aber uneingeschränkt zu, dass es recht umständlich ist!

Außerdem bietet es - zumindest mir - immer wieder die Möglichkeit, Rechenfehler einzubauen :-)

Besten Gruß

Andreas