Funktionenschar fk(x) = x³ + kx² - 4. Eine kleine Kurvendiskussion

Question

ich habe die Funktion
fk(x) = x³ + kx² - 4
Und benötige davon den Definitionsbereich, die Nullstellen, Wendepunkte und Extrempunkte.

Eventuell auch eine klitzekleine Erklärung, da ich bald eine Klausur schreibe und das unbedingt beherrschen muss.

Answer 1

fk(x) = x^3 + kx^2 - 4
 

Definitionsbereich

D = R

Nullstellen f(x) = 0

x^3 + kx^2 - 4 = 0

Mind. eine Nullstelle. Ich weiß noch nicht nicht wo.

Extrempunkte f'(x) = 0

3·x^2 + 2·k·x = 0
x·(3·x + 2·k) = 0
x = 0 und x = -2/3·k

f(0) = -4 für k > 0 Tiefpunkt
f(-2/3·k) = 4·k^3/27 - 4 für k > 0 Hochpunkt

4·k^3/27 - 4 > 0
Für k > 3 gibt es 3 Nullstellen

Wendepunkte f'(x) = 0

6·x + 2·k = 0
x = - k/3

Skizze: