Kurvendiskussion einer Schar fk(x)= x^4-x^2*k+k

Question

1.Man berechne die Nullstellen von fk und zeige, dass die Schar gemeinsame Punkte besitzt.

2. Es bezeichne dtk,x0 die Tangente an fk bei x0. Zeige, dass die Tangentenschar (tk,x0) für ein bestimmtes x0 jeweils einen gemeinsamen Punkt hat.

3. Berechne die Minima und Maxima von fk

Answer 1

fk(x) = x^4 - k·x^2 + k

Nullstellen fk(x) = 0

x^4 - k·x^2 + k = 0
z^2 - k·z + k = 0
z = k/2 ± √(k^2 - 4·k)/2

x = ± √(k/2 ± √(k^2 - 4·k)/2)


Gemeinsame unkte der Schar fk(x) = fc(x)

x^4 - k·x^2 + k = x^4 - c·x^2 + c
c·x^2 - k·x^2 = c - k
x^2·(c - k) = c - k
x^2 = 1
x = ± 1

f(1) = 1
f(-1) = 1

Comments

fk(x) = x^4 - k·x^2 + k
fk'(x) = 4·x^3 - 2·k·x

Tangente an der Stelle z

tkz(x) = (4·z^3 - 2·k·z)·(x - z) + z^4 - k·z^2 + k = 4·x·z^3 - 2·k·x·z - 3·z^4 + k·z^2 + k


Zeigen das die Tangentenschar gemeinsame Punkte hat tkz(x) = tcz(x)

4·x·z^3 - 2·k·x·z - 3·z^4 + k·z^2 + k = 4·x·z^3 - 2·c·x·z - 3·z^4 + c·z^2 + k
2·c·x·z - 2·k·x·z = c·z^2 - k·z^2
2·x·z·(c - k) = z^2·(c - k)
2·x = z
x = z/2

tkz(z/2) = 4·(z/2)·z^3 - 2·k·(z/2)·z - 3·z^4 + k·z^2 + k = k - z^4


Maxima und Minima mach ich später. Muss gerade Telefonieren.

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Dankeschön! :)

Aber eine Antwort auf die zweite Frage hast du auch nicht rausbekommen oder? :/ Ich verzweifel daran ..

2. Es bezeichne tk,x0 die Tangente an fk bei x0. Zeige, dass die Tangentenschar (tk,x0) für ein bestimmtes x0 jeweils einen gemeinsamen Punkt hat.

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen! :)

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Daaaaanke !!! :)) Du hilfst mir damit echt sehr!

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Extremstellen fk'(x) = 0
4·x^3 - 2·k·x = 0
x·(4·x^2 - 2·k) = 0 --> x1 = 0

4·x^2 - 2·k = 0
x^2 = k/2
x = ± √(k/2) --> Hier muss k > 0 sein. Ansonsten kein weiterer Extrempunkt

fk''(x) = 12·x^2 - 2·k
fk''(0) = -2·k --> für k > 0 ein Hochpunkt

fk''(± √(k/2)) = 4·k --> für k > 0 ein Minimum

fk(0) = k (Hochpunkt)
fk(± √(k/2)) = k - k^2/4 (Tiefpunkt)

Skizze