Schnittpunkt zweier Funktionen der Schar fk (x) = (ln(x)-k)² mit k∈ℝ

Question

gestern habe ich Abitur in Mathe geschrieben (Rlp, also dezentral und G9) und hadere immer noch an einer Teilaufgabe.

Den Analysisteil habe ich bis auf besagte Teilaufgabe komplett lösen können. Zu dieser fehlte mir dann wohl noch der nötige Einfall, wobei auch keiner derjenigen, mit denen ich bisher gesprochen hatte, eine vollständige Lösung präsentieren konnte.

Es war folgende Funktionenschar gegeben: f_k (x) = (ln(x)-k)² mit k∈ℝ

Die Teilaufgabe lautete wie folgt:

Zeigen Sie, dass zwei Funktionen der Schar mit verschiedenen Parametern nur einen gemeinsamen Schnittpunkt (x_s) besitzen!

Habe nun zwei beliebige Scharfunktionen f_k1 und f_k2 gleichgesetzt, doch ich habe es nicht hinbekommen, nach x aufzulösen. Wahrscheinlich ist die Lösung mal wieder ganz trivial und banal und ich bin nur zu blöd, mal wieder auf die richtige Rechenregel etc. zu kommen.

Wäre schon, wenn mir hier kurz auf die Sprünge geholfen wird, damit ich später gut schlafen kann ;D

Answer 1

Sei \( k \neq s \)

$$ (\ln (x)-k)^2 = (\ln(x) - s)^2 $$

$$ -2k\ln(x) + k^2 = -2s\ln(x) + s^2 $$

$$ ln(x) = \frac{s^2-k^2}{2(s-k)} = \frac{1}{2}(s+k)$$

$$ x = e^{\frac{1}{2}(s+k)} $$

Gruß

Answer 2

Hat sich erledigt. Meine Rechnung war nicht richtig.