Flächen in Zusammenhang mit Funktionenscharen fk(x). Bsp. fk(x)=2x²-k; A=3.

Question

1. Bestimme diejenige Funktion aus der Funktionenschar fk(x), deren Graph mit der x-Achse eine Fläche vom Inhalt A einschließt. Bestimme k.

2. Überprüfe bei jeder Funktion zunächst den Sonderfall k=0. Überlege bei jeder Funktion, wie sie im Koordinatensystem liegt, abhängig davon ob k<0 oder k>0.

fk(x)=2x²-k; A=3

fk(x)=3x-kx²; A=18

Answer 1

fk(x) = 2x² - k; A=3

Fk(x) = 2/3·x^3 - k·x

Nullstellen fk(x) = 0

x = ± √(k/2)

Wir können hier die Symmetrie ausnutzen.

Fk(√(k/2)) = 2/3·√(k/2)^3 - k·√(k/2) = -3/2

k = 3/2·3^{1/3}

Comments

fk(x) = 3·x - k·x^2; A=18

Fk(x) = 3/2·x^2 - k/3·x^3

Nullstellen fk(x) = 0

3·x - k·x^2 = 0
x·(3 - k·x) = 0
x = 0
x = 3/k

Für positive k

Fk(3/k) = 3/2·(3/k)^2 - k/3·(3/k)^3 = 9/(2·k^2) = 18
k = - 1/2 ∨ k = 1/2

- 1/2 ist auch eine Lösung für die die Fläche nur unter der x-Achse verläuft