Gegeben ist die Funktionsschar: fk(x)=x³+3kx+3x mit k ∈ ℝ
Für welche Werte von k hat der Graph der zugehörigen Funktion
a) Extrempunkte
b) einen Sattelpunkt
c) weder einen Extrempunkt noch einen Sattelpunkt??
Vorausgesetzt die Funktion ist so richtig:
f(x) = x^3 + 3·k·x + 3·x
f'(x) = 3·x^2 + 3·k + 3 = 0 --> x = ± √(-k - 1)
Extrempunkte für -k - 1 > 0 --> k < -1
Sattelpunkt für -k - 1 = 0 --> k = -1
Weder Extrem noch Sattelpunkt für k > -1
Zu a) f 'k(x) = 3x2+3k+3. 3x2+3k+3 = 0 für x=√(-k-1). Der Radikand muss > 0 sein. -k-1≥0. Für k < -1 existieren Extrempunkte.
Zu b) Wie man weiß, hat y = x3 einen Sattelpunkt. also muss in diesem Falle k = -1 sein.
Zu c) Wenn weder a) noch b) zutrifft.
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