Question

Gegeben ist die Funktionsschar: fk(x)=x³+3kx+3x   mit k ∈ ℝ

Für welche Werte von k hat der Graph der zugehörigen Funktion

a) Extrempunkte

b) einen Sattelpunkt

c) weder einen Extrempunkt noch einen Sattelpunkt??

Answer 1

a)
Setze f '(x) = 0
f '' der gefundenen Stellen muss ungleich Null sein. Überprüfen!

b)

Es muss gelten:

f '(x) =0

f ''(x) =0

c)
ergibt sich aus a) und b)

Answer 2

Vorausgesetzt die Funktion ist so richtig:

f(x) = x^3 + 3·k·x + 3·x

f'(x) = 3·x^2 + 3·k + 3 = 0 --> x = ± √(-k - 1)

Extrempunkte für -k - 1 > 0 --> k < -1

Sattelpunkt für -k - 1 = 0 --> k = -1

Weder Extrem noch Sattelpunkt für k > -1

Answer 3

Zu a) f '_k(x) = 3x²+3k+3. 3x²+3k+3 = 0 für x=√(-k-1). Der Radikand muss > 0 sein. -k-1≥0. Für k < -1 existieren Extrempunkte.

Zu b) Wie man weiß, hat y = x³ einen Sattelpunkt. also muss in diesem Falle k = -1 sein.

Zu c) Wenn weder a) noch b) zutrifft.